第三章 3.2 3.2.2
A级——基础过关练
1．下列函数是奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝－3x2
C．y＝－|x| D．y＝πx3－x
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
3．(2024年龙岩期中)函数f(x)＝的图象大致是( )
4．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数为偶函数的有( )
A．y＝f(|x|) B．y＝xf(x)
C．y＝f(x)＋f(－x) D．y＝f(x)＋x
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
6．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
7．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－ ，则f(－2)＝__________．
8．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f的值为__________．
9．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．
10．已知函数f(x)＝x＋．
(1)若f(1)＝5，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(4)＝3，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
11．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的有( )
A．f(x)g(x)是奇函数
B．f(x)|g(x)|是偶函数
C．若g(x)－f(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1
D．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减且f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是[1，3]
13．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值．
14．(多选)(2024年龙岩月考)对于定义在D上的函数f(x)，若满足：
①对任意的x∈D，f(x)＋f(－x)＝0；
②对任意的x1∈D，存在x2∈D，使得＝．
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的有( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝第三章 3.2 3.2.2
A级——基础过关练
1．下列函数是奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝－3x2
C．y＝－|x| D．y＝πx3－x
【答案】D
【解析】选项A中函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，C中函数的定义域均是R，且函数均是偶函数；选项D中函数的定义域是R，且f(－x)＝－f(x)，则此函数是奇函数．
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
【答案】C
【解析】因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．(2024年龙岩期中)函数f(x)＝的图象大致是( )
【答案】B
【解析】因为f(x)＝，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，所以C错误；当x＞0时，f(x)＞0，所以A，D错误，B正确．故选B．
4．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数为偶函数的有( )
A．y＝f(|x|) B．y＝xf(x)
C．y＝f(x)＋f(－x) D．y＝f(x)＋x
【答案】AC
【解析】因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，对于A，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以y＝f(|x|)为偶函数，故满足题意；对于B，因为－xf(－x)＝－xf(x)，所以y＝xf(x)为奇函数，故不满足题意；对于C，易得y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故满足题意；对于D，因为f(－x)－x＝f(x)－x≠f(x)＋x，所以y＝f(x)＋x不为偶函数，故不满足题意．故选AC．
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
【答案】C
【解析】因为f(x)在R上是偶函数，所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
7．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－ ，则f(－2)＝__________．
【答案】－
【解析】当x＞0时，f(x)＝2x－，所以f(2)＝2×2－＝，而f(x)是R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，即f(－2)＝－．
8．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f的值为__________．
【答案】
【解析】已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＝x2＋bx b＝0，所以f(x)＝x2，所以f＝．
9．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．
【答案】{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}
【解析】∵偶函数的图象关于y轴对称，∴可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解集．∵当x∈[0，5]时，f(x)＜0的解集为{x|2＜x≤5}，∴当x∈[－5，0]时，f(x)＜0的解集为{x|－5≤x＜－2}．∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．
10．已知函数f(x)＝x＋．
(1)若f(1)＝5，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(4)＝3，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝x＋．
若f(1)＝5，即1＋a＝5，解得a＝4，则f(x)＝x＋，
f(x)为奇函数．理由如下：
f(x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)若f(4)＝3，即f(4)＝4＋＝3，解得a＝－4，
则f(x)＝x－，在(0，＋∞)上为增函数．证明如下：
设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝(x1－x2)，
而0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
B级——综合运用练
11．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
【答案】B
【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的有( )
A．f(x)g(x)是奇函数
B．f(x)|g(x)|是偶函数
C．若g(x)－f(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1
D．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减且f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是[1，3]
【答案】ACD
【解析】因为函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，即h(x)为奇函数，A正确；令H(x)＝f(x)|g(x)|，则H(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－H(x)，即H(x)为奇函数，B错误；若g(x)－f(x)＝x3＋x2＋1，则g(－1)－f(－1)＝g(1)＋f(1)＝－1＋1＋1＝1，C正确；若函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减且f(1)＝－1，则f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1可化为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，D正确．故选ACD．
13．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值．
解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝(k1，k2≠0)，则1＝f(1)＝k1，2＝g(1)＝k2，
∴f(x)＝x，g(x)＝．
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋，则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又∵h(－x)＝－x＋＝－＝－h(x)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数．
(3)∵当x∈(0，2)时，f(x)＋g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝∈(0，2)时，等号成立，
∴f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值为2．
C级——创新拓展练
14．(多选)(2024年龙岩月考)对于定义在D上的函数f(x)，若满足：
①对任意的x∈D，f(x)＋f(－x)＝0；
②对任意的x1∈D，存在x2∈D，使得＝．
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的有( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【答案】ABD
【解析】对于f(x)＝x定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，满足①，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得＝，满足②，故A正确；对于f(x)＝若x∈(0，1)，则－x∈(－1，0)，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝－f(x)，若x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，则f(－x)＝(－x)2＝x2＝－f(x), 即满足①，对任意的x1∈(0，1)，存在x2＝x1－1∈(－1，0)，使得＝＝＝，对任意的x1∈(－1，0)，存在x2＝x1＋1∈(0，1)，使得＝＝＝，即f(x)＝满足②，故B正确；对于f(x)＝，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，当x＝1时，－x＝－1 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f(x)＋f(－x)＝0不成立，即不满足①，故C错误；对于f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(x)＋f(－x)＝－＝0成立，满足①，对任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，存在x2＝∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，使得＝＝＝，即满足②，故D正确．故选ABD．
