第三章 3.3
A级——基础过关练
1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2024年广州黄埔区期中)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(x)的图象是( )
3．(2024年惠州期中)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则f()＝( )
A． B．
C．2 D．2
4．已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点(，4)，则k＋m＝( )
A．4 B．
C．5 D．
5．(2024年汕头澄海区期末)已知函数f(x)＝(m2－2m－2)·xm－2是幂函数，且在(0，＋∞)上递增，则实数m＝( )
A．－1 B．－1或3
C．3 D．2
6．(多选)(2024年深圳南山区期末)已知函数f(x)＝(2m－m2)x3m为幂函数，则下列结论正确的有( )
A．m＝1 B．f(x)为偶函数
C．f(x)为增函数 D．f(x)的值域为[0，＋∞)
7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝__________．
8．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝__________．
9．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，若f(a)≥f(2－a2)，则实数a的取值范围是______________．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－和3.2－；
(2)4.1和3.8－．
11．若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．3 D．－3或2
12．(多选)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm的图象过点，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，0)上单调递减 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
13．(2024年佛山期中)已知幂函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1在(0，＋∞)上是减函数，m∈R．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(2－a) ＞(2a－1) ，求实数a的取值范围．
14．(2024年江门新会区期中)已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1+k)(k∈Z)在(0，＋∞)是增函数．
(1)求k的值，并写出函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值，请说明理由．第三章 3.3
A级——基础过关练
1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．
2．(2024年广州黄埔区期中)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(x)的图象是( )
【答案】D
【解析】设f(x)＝xα，函数图象经过(2，)，可得＝2α，解得α＝，故f(x)＝x．故选D．
3．(2024年惠州期中)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则f()＝( )
A． B．
C．2 D．2
【答案】A
【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1．又因为f(x)的图象与坐标轴无公共点，故m＜0，所以m＝－2，故f(x)＝x－2，所以f()＝()－2＝．故选A．
4．已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点(，4)，则k＋m＝( )
A．4 B．
C．5 D．
【答案】B
【解析】因为幂函数f(x)＝2kxm，所以2k＝1，解得k＝．又因为图象过点(，4)，所以()m＝4，m＝4，则k＋m＝．故选B．
5．(2024年汕头澄海区期末)已知函数f(x)＝(m2－2m－2)·xm－2是幂函数，且在(0，＋∞)上递增，则实数m＝( )
A．－1 B．－1或3
C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意知m2－2m－2＝1，即(m＋1)(m－3)＝0，解得m＝－1或m＝3，∴当m＝－1时，m－2＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；当m＝3时，m－2＝1，则f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意，∴m＝3．故选C．
6．(多选)(2024年深圳南山区期末)已知函数f(x)＝(2m－m2)x3m为幂函数，则下列结论正确的有( )
A．m＝1 B．f(x)为偶函数
C．f(x)为增函数 D．f(x)的值域为[0，＋∞)
【答案】AC
【解析】根据函数f(x)＝(2m－m2)x3m为幂函数，可得2m－m2＝1，求得m＝1，即f(x)＝x3，故A正确；显然，该函数为奇函数，故B错误；显然，该函数为R上的增函数，故C正确；由于该函数的值域为R，故D错误．故选AC．
7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝__________．
【答案】
【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为图象过点，所以f＝，所以＝ 2－＝ α＝，所以f(3)＝3＝．
8．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝__________．
【答案】2
【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m＝1，且n＝1，3，5，…．因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1，则m＋n＝1＋1＝2．
9．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，若f(a)≥f(2－a2)，则实数a的取值范围是______________．
【答案】(0，1]
【解析】函数f(x)为幂函数，可设f(x)＝xα，f(4)＝，则4α＝，解得α＝－，故f(x)＝x－＝，定义域为(0，＋∞)，且单调递减，所以解得0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0，1]．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－和3.2－；
(2)4.1和3.8－．
解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．
又因为3＜3.2，所以3－＞3.2－．
(2)因为4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－．
B级——综合运用练
11．若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．3 D．－3或2
【答案】A
【解析】由幂函数的定义，得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，图象过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3，显然图象不过原点，符合条件．故选A．
12．(多选)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm的图象过点，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，0)上单调递减 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
【答案】AD
【解析】∵f(x)＝(m2－3)xm为幂函数，∴m2－3＝1，∴m＝－2或m＝2．当m＝2时，f(x)＝x2，此时f(2)＝4，函数图象不过点，故f(x)≠x2；当m＝－2时，f(x)＝x－2，此时f(2)＝，函数图象过点，故f(x)＝x－2．∵f(－x)＝f(x)，故A正确；∵－2＜0，∴幂函数f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，故D正确；结合偶函数的性质可得幂函数f(x)＝x－2在(－∞，0)上单调递增，故C错误．故选AD．
13．(2024年佛山期中)已知幂函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1在(0，＋∞)上是减函数，m∈R．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(2－a) ＞(2a－1) ，求实数a的取值范围．
解：(1)由幂函数的定义可知m2＋3m－9＝1，解得m＝－5或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意，
当m＝－5时，f(x)＝x－6在(0，＋∞)上是减函数，符合题意，
故f(x)＝x－6．
(2)由(1)可知，m＝－5，则(2－a)－＞(2a－1)－，
故解得1＜a＜2，
故实数a的取值范围为(1，2)．
C级——创新拓展练
14．(2024年江门新会区期中)已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1+k)(k∈Z)在(0，＋∞)是增函数．
(1)求k的值，并写出函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值，请说明理由．
解：(1)由题意可得解得k＝1或k＝0，
所以f(x)＝x2．
(2)由(1)可得g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x＝－mx2＋(2m－1)x＋1，
且m＞0，即－m＜0，可知g(x)的图象开口向下，对称轴x＝＝1－＜1，
当0＜1－＜1，即m＞时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，
可知g(x)在区间[0，1]上的最大值为g＝＝5，
解得m＝或m＝(舍去)；
当1－≤0，即0＜m≤时，g(x)在区间[0，1]上单调递减，
可知g(x)在区间[0，1]上的最大值为g(0)＝1≠5，不合题意．
综上所述，m＝．
