第三章 3.4
A级——基础过关练
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
【答案】D
【解析】设日产手套x双才不亏本，由题意，得5x＋40 000≤10x，解得x≥8 000, 即日产手套至少8 000双才不亏本．
2．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200) B．y＝3 000－2.5x(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－2.5x(0＜x＜1 200) D．y＝3 000－2.5x(0≤x≤1 200)
【答案】A
【解析】∵3 000÷2.5＝1 200，∴100≤x≤1 200．故选A．
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
【答案】C
【解析】设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大，为120万元．
4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000，x∈N)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000，x∈N)
C．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
【答案】D
【解析】由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200．
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． B．
C．－1 D．－1
【答案】C
【解析】设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1．
6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的有( )
A．甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为y＝x－2
【答案】ABC
【解析】由题中图象知，A正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，B正确；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，C正确；当30≤x≤40时，题中图象是平行于x轴的线段，D错误．
7．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
中国鞋码实际标准/mm 220 225 230 235 240 245 250 255
中国鞋码习惯叫法/号 34 35 36 37 38 39 40 41
习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为__________mm．
【答案】200
【解析】设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x号，则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200．
8．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x．若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为__________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432(30≤x≤54)，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
9．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为__________万元．
【答案】125
【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125．
10．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N*)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N*)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
B级——综合运用练
11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽的比值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB＝x，宽为AD＝y，则4x＋6y＝1，所以y＝(1－4x)，则饲养场的总面积为S＝3xy＝x(1－4x)＝－2＋．故当x＝，y＝，即长宽之比为∶＝3∶2时，饲养场的总面积最大．
12．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________单位．(总利润＝总收入－成本)
【答案】250 300
【解析】由题意可得L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取得最大值250万元．
13．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9．
由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时单调递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；
当16＜x≤30时，f(x)为减函数，f(x)最大值＜59．
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．
C级——创新拓展练
14．(多选)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示，且M与t满足一次函数关系．
第t天 6 13 20 27
M/万股 34 27 20 13
下列说法正确的有( )
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M(万股)关于时间t(天)的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
【答案】BCD
【解析】当0≤t＜20时，设函数解析式为P＝at＋b，把点(0，2)和(10，4)代入得解得∴P＝t＋2，当t＝20时，P＝6，当20≤t≤30时，设函数解析式为P＝mt＋n，把点(20，6)和(30，5)代入得解得∴P＝－t＋8，∴P＝当t＝10时，P＝4，故A错误；设M＝ct＋d(c≠0)，把点(6，34)和点(13，27)代入得解得∴M＝－t＋40，故B正确；由题图知，第20天时该股票每股的交易价格达到最大值，故C正确；∵该股票每股交易价格P＝日交易量M＝－t＋40，∴该股票日交易额y＝P·M＝当0≤t＜20时，y＝－t2＋6t＋80，则当t＝15时，ymax＝125，当20≤t≤30时，y＝t2－12t＋320，则当t＝20时，ymax＝120，故在这30天内第15天的日交易额最大，为125万元，故D正确．故选BCD．第三章 3.4
A级——基础过关练
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
2．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200) B．y＝3 000－2.5x(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－2.5x(0＜x＜1 200) D．y＝3 000－2.5x(0≤x≤1 200)
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000，x∈N)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000，x∈N)
C．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． B．
C．－1 D．－1
6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的有( )
A．甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为y＝x－2
7．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
中国鞋码实际标准/mm 220 225 230 235 240 245 250 255
中国鞋码习惯叫法/号 34 35 36 37 38 39 40 41
习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为__________mm．
8．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x．若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为__________元/件．
9．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为__________万元．
10．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽的比值为( )
A． B．
C． D．
12．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________单位．(总利润＝总收入－成本)
13．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
14．(多选)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示，且M与t满足一次函数关系．
第t天 6 13 20 27
M/万股 34 27 20 13
下列说法正确的有( )
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M(万股)关于时间t(天)的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
