高中数学人教A版必修第一册 4.2 指数函数图象及性质的应用 习题训练(含解析)

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名称 高中数学人教A版必修第一册 4.2 指数函数图象及性质的应用 习题训练(含解析)
格式 zip
文件大小 76.9KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-10-14 10:45:04

文档简介

第四章 4.2 第2课时
A级——基础过关练
1.下列判断正确的是(  )
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2<π D.0.90.3>0.90.5
【答案】D
【解析】因为y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,所以0.90.3>0.90.5.
2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知得0<1-2a<1,解得0<a<,即实数a的取值范围是.
3.函数y=-2的单调递减区间为(  )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,] D.[,+∞)
【答案】B
【解析】函数y=在R上为减函数,欲求函数y=-2的单调递减区间,只需求函数u=x2-2的单调递增区间,而函数u=x2-2的单调递增区间为[0,+∞),故所求的单调递减区间为[0,+∞).
4.(多选)设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则(  )
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(1)>f(2) D.f(-4)>f(3)
【答案】AD
【解析】由f(2)=a-2=4得a=,即f(x)==2|x|,故f(-2)>f(-1),f(2)>f(1),f(-4)=f(4)>f(3),所以A,D正确.
5.(多选)下列函数中,最小值为2的是(  )
A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=ex+e-x
C.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1
【答案】ABD
【解析】对于A,f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当x=-1时,等号成立,故A正确;对于B,g(x)=ex+e-x=ex+≥2,当且仅当x=0时,等号成立,故B正确;对于C,h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误;对于D,m(x)=2|x|+1≥20+1=2,当且仅当x=0时,等号成立,故D正确.故选ABD.
6.函数y=的单调递增区间是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设u=-x2+x+2,则u=-+,则u=-x2+x+2在上单调递增,在上单调递减.又因为y=是减函数,故y=的单调递增区间为.故选C.
7.函数f(x)=2x-3(1<x≤5)的值域是________.
【答案】
【解析】因为1<x≤5,所以-2<x-3≤2.而函数f(x)=2x-3在其定义域上是增函数,所以<f(x)≤4,即所求函数的值域为.
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集是__________.
【答案】(-∞,-1)
【解析】设x<0,则-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.当x>0时,1-2-x∈(0,1),所以不等式f(x)<-不成立,即当x>0时,无解;当x<0时,2x-1<-,解得x<-1.
9.据报道,过去50年某山峰周边冰川覆盖面积减少约30%.如果按此规律,设2024年的冰川覆盖面积为m,从2024年起,过x年后冰川覆盖面积y与x的函数关系式为____________.
【答案】y=0.7·m(x∈N*)
【解析】设冰川覆盖面积每年为上一年的q%,则(q%)50=0.7,所以q%=0.7,即x年后冰川覆盖面积为0.7·m(x∈N*).
10.已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(|x|)>f(1),求x的取值范围.
解:(1)设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
将点代入,得=a2,解得a=.故f(x)=.
(2)由(1)知f(x)=,显然f(x)在R上是减函数.
又因为f(|x|)>f(1),
所以|x|<1,解得-1<x<1.
所以x的取值范围为(-1,1).
B级——综合运用练
11.(多选)关于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(  )
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
【答案】ABD
【解析】f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又它是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
12.若函数y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是__________.
【答案】(-∞,0]
【解析】在平面直角坐标系中作出y=2x的图象,把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y=2x-1的图象,再把y=2x-1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变(如图),得到y=|2x-1|的图象.由图可知y=|2x-1|在(-∞,0]上单调递减,所以m∈(-∞,0].
13.设a>0,f(x)=+是定义在R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)解:依题意,对一切x∈R有f(x)=f(-x),即+=+a·3x,
∴=0对一切x∈R恒成立.由此可得a-=0,即a2=1,又a>0,
∴a=1.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)= 3x1-3x2+-=(3x2- 3x1)·=(3x2-3x1)·.
由x1>0,x2>0,x1<x2,
得x1+x2>0,3x2-3x1>0,
则1-3x1+x2<0,3x1+x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
C级——创新拓展练
14.设函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).
(1)若f(1)>0,求不等式f(-x2+7)+f(x-5)<0的解集;
(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)-m≥0在[1,+∞)上恒成立,求m的最大值.
解:(1)∵f(1)=a-=>0,
又a>0且a≠1,∴a>1,
∴y=ax单调递增,y=a-x单调递减,故f(x)在R上单调递增.
又∵f(-x)=a-x-ax=-f(x)且x∈R,
∴f(x)是R上的奇函数,
由f(-x2+7)+f(x-5)<0,得f(-x2+7)<f(5-x),∴-x2+7<5-x,解得x<-1或x>2,
∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
(2)由f(1)=a-=,
解得a=-(舍去)或a=2,则f(x)=2x-2-x,
∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)-m=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)-m+2,
令t=2x-2-x,
∵x∈[1,+∞),∴t≥,g(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即t2-4t-m+2≥0在t∈上恒成立,
亦即m≤t2-4t+2在t∈上恒成立.
而t2-4t+2=(t-2)2-2≥-2,
∴m≤-2,∴m的最大值为-2.第四章 4.2 第2课时
1.下列判断正确的是(  )
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2<π D.0.90.3>0.90.5
2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
3.函数y=-2的单调递减区间为(  )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,] D.[,+∞)
4.(多选)设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则(  )
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(1)>f(2) D.f(-4)>f(3)
5.(多选)下列函数中,最小值为2的是(  )
A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=ex+e-x
C.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1
6.函数y=的单调递增区间是(  )
A. B.
C. D.
7.函数f(x)=2x-3(1<x≤5)的值域是________.
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集是__________.
9.据报道,过去50年某山峰周边冰川覆盖面积减少约30%.如果按此规律,设2024年的冰川覆盖面积为m,从2024年起,过x年后冰川覆盖面积y与x的函数关系式为____________.
10.已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(|x|)>f(1),求x的取值范围.
11.(多选)关于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(  )
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
12.若函数y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是__________.
13.设a>0,f(x)=+是定义在R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
14.设函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).
(1)若f(1)>0,求不等式f(-x2+7)+f(x-5)<0的解集;
(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)-m≥0在[1,+∞)上恒成立,求m的最大值.