第四章 4.3 4.3.2
A级——基础过关练
1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的结果是( )
A．－log62 B．－log63
C．log63 D．－1
【答案】A
【解析】(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62＝log62(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．故选A．
2．(2023年广州期末)lg 8＋lg 125－＋16＋0＝( )
A．－37 B．－38
C．－39 D．－40
【答案】A
【解析】原式＝3lg 2＋3lg 5－49＋24×＋1＝3(lg 2＋lg 5)－49＋8＋1＝3lg (2×5)－40＝3－40＝－37．故选A．
3．log2＋lg 25＋lg 4＋6log6＋9.80＝( )
A．1 B．4
C．5 D．7
【答案】C
【解析】原式＝log22＋lg (25×4)＋＋1＝＋2＋＋1＝5．故选C．
4．(2024年河池期末)若log3(x－2)＝2y－3＝1，则x＋y的值为( )
A．2 B．3
C．5 D．8
【答案】D
【解析】若log3(x－2)＝2y－3＝1，则x－2＝3，y－3＝0，所以x＝5，y＝3，所以x＋y＝8．故选D．
5．(2024年德阳期末)当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的57%，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今(精确到百年，参考数据：log20.57≈－0.81)( )
A．3 800年 B．4 200年
C．4 600年 D．5 000年
【答案】C
【解析】设这头大象大约生活在距今t年，则＝0.57 t＝5 730×log0.57＝5 730×≈5 730×0.81＝4 641.3，这头大象大约生活在距今约4 600年．故选C．
6．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
【答案】B
【解析】因为log34·log48·log8m＝··＝＝2，所以lg m＝2lg 3，所以m＝9．
7．(2024年湖北期末)计算：27＋＋lg －2lg 3＝__________．
【答案】24
【解析】原式＝33×＋42＋lg 9－lg 10－lg 9＝9＋16－1＝24．
8．化简：＋lg ＋23＝__________．
【答案】π－3
【解析】因为3＝log2，所以＋lg ＋2log3＝π－3＋×lg 10－2＋2log2＝π－3＋×(－2)＋＝π－3．
9．(2024年苏州期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＋f(5)＝__________．
【答案】1
【解析】因为f(x)＝所以f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝lg 2，f(5)＝lg 5，则f(f(0))＋f(5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．
10．计算：(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316．
解：(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2．
(2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43×2log34＝log338＋log22＋2＝11．
B级——综合运用练
11．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 120＝( )
A．1＋a＋b B．1＋a＋2b
C．1＋2a＋b D．2＋2a＋b
【答案】C
【解析】因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以lg 120＝lg (10×3×4)＝lg 10＋lg 3＋2lg 2＝1＋b＋2a．故选C．
12．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝__________，b＝__________．
【答案】4 2
【解析】∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或logab＝．∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1．∴logab＝，∴a＝b2．∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2．∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4．
13．(1)证明对数换底公式：logbN＝(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0)；
(2)已知log32＝m，试用m表示log3218．
解：(1)证明：设logbN＝x，写成指数式bx＝N．
两边取以a为底的对数，得xlogab＝logaN．
因为b＞0，b≠1，logab≠0，
因此上式两边可除以logab，得x＝．
所以logbN＝．
(2)因为log32＝m，
因此log3218＝＝＝＝．
C级——创新拓展练
14．(多选)(2024年宁波期末)若lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则( )
A．ab的最小值是2 B．a＋b的最小值是3＋2
C．－的最大值是0 D．＋的最大值是
【答案】BCD
【解析】对于A，若lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则lg ab＝lg (a＋2b)，可得ab＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b时，以上不等式取等号，此时a＝4，b＝2，所以ab≥8，故A错误；对于B，由ab＝a＋2b，整理得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝b，即b＝1＋，a＝2＋时，以上不等式取等号，故B正确；对于C，由ab＝a＋2b，整理得a＝，故＝－，所以－＝－－＝－＜－2＝－＝0，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立，故C正确；对于D，由ab＝a＋2b，整理得b＝＞0，可知a＞2，＋＝＋＝＋＝－＋＝＋，令3a－5＝x(x＞1)，则＝＝＝≤＝，当且仅当2x＝，即x＝4，a＝3时，等号成立，故＋的最大值是＋＝，故D正确．故选BCD．第四章 4.3 4.3.2
A级——基础过关练
1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的结果是( )
A．－log62 B．－log63
C．log63 D．－1
2．(2023年广州期末)lg 8＋lg 125－＋16＋0＝( )
A．－37 B．－38
C．－39 D．－40
3．log2＋lg 25＋lg 4＋6log6＋9.80＝( )
A．1 B．4
C．5 D．7
4．(2024年河池期末)若log3(x－2)＝2y－3＝1，则x＋y的值为( )
A．2 B．3
C．5 D．8
5．(2024年德阳期末)当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的57%，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今(精确到百年，参考数据：log20.57≈－0.81)( )
A．3 800年 B．4 200年
C．4 600年 D．5 000年
6．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
7．(2024年湖北期末)计算：27＋＋lg －2lg 3＝__________．
8．化简：＋lg ＋23＝__________．
9．(2024年苏州期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＋f(5)＝__________．
10．计算：(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316．
11．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 120＝( )
A．1＋a＋b B．1＋a＋2b
C．1＋2a＋b D．2＋2a＋b
12．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝__________，b＝__________．
13．(1)证明对数换底公式：logbN＝(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0)；
(2)已知log32＝m，试用m表示log3218．
14．(多选)(2024年宁波期末)若lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则( )
A．ab的最小值是2 B．a＋b的最小值是3＋2
C．－的最大值是0 D．＋的最大值是
