第四章 4.4 第3课时
A级——基础过关练
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的图形．由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋b
C．y＝a ln x＋b D．y＝a·ex＋b
3．(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，错误的是( )
A．在[4，＋∞)上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B．在[4，＋∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C．当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D．当x∈(2，＋∞)时，y2＞y1
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表所示：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
5．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )
A．y＝0.4x B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
6．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__________．
8．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是__________．
9．某科技公司为解决芯片短板问题，计划逐年加大芯片研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金1 200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过2 000万元的年份是__________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
10．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
12．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法正确的有( )
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
13．(2024年东莞期末)某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y(单位：个)与测试点投篮距离x(单位：米)的部分数据如下表：
x 3 5 6 8
y 25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f(x)函数模型供选择：①f(x)＝ax3＋b，②f(x)＝－x2＋ax＋b，③f(x)＝abx．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第(1)问的条件下，若函数f(x)在[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．
14．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲在最前面；
②当x＞1时，乙在最前面；
③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为__________(填序号)．第四章 4.4 第3课时
A级——基础过关练
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
【答案】B
【解析】D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的图形．由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋b
C．y＝a ln x＋b D．y＝a·ex＋b
【答案】C
【解析】根据图形可知，点大致分布在某一条对数型函数曲线周围，A选项是直线型，B选项是抛物线型，D选项是指数型，只有C选项是对数型．故选C．
3．(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，错误的是( )
A．在[4，＋∞)上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B．在[4，＋∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C．当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D．当x∈(2，＋∞)时，y2＞y1
【答案】ACD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的图象，如图所示，在[4，＋∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快，且快于y1，故A错误，B正确；对于C，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3，故C错误；对于D，当x∈(2，4)时，y2＜y1，故D错误．故选ACD．
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表所示：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
【答案】D
【解析】(方法一)相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，逐渐增加，二次曲线拟合程度最好．故选D．
(方法二)比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D．
5．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )
A．y＝0.4x B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
【答案】B
【解析】在选项B中，y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增．当x＝10时，ymax＝2．作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示，由图知lg x＋1＜在x∈[4，10]上恒成立．故B正确．
6．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】(方法一)分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
(方法二)由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D．
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__________．
【答案】f(x)＞g(x)
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象如图所示．由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，故f(x)＞g(x)．
8．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是__________．
【答案】y＝x2
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快．
9．某科技公司为解决芯片短板问题，计划逐年加大芯片研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金1 200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过2 000万元的年份是__________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
【答案】2026年
【解析】设经过x年后全年投入的研发资金开始超过2 000万元，则1 200·(1＋0.12)x＞2 000，即1.12x＞，所以x＞log1.12．又log1.12＝＝≈＝4.4，则x＞4.4，所以经过5年后全年投入的研发资金开始超过2 000万元，则该公司全年投入的研发资金开始超过2 000万元的年份是2026年．
10．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得，当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
B级——综合运用练
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【答案】C
【解析】将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得
x 1 2 3
y＝0.2x 0.2 0.4 0.6
y＝ 0.2 0.4 0.8
y＝x2＋2x 2.1 4.4 6.9
y＝0.2＋log16x 0.2 0.45 0.2＋log163
与已知值0.2，0.4，0.76相比较可知选C．
12．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法正确的有( )
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
【答案】BC
【解析】前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC．
13．(2024年东莞期末)某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y(单位：个)与测试点投篮距离x(单位：米)的部分数据如下表：
x 3 5 6 8
y 25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f(x)函数模型供选择：①f(x)＝ax3＋b，②f(x)＝－x2＋ax＋b，③f(x)＝abx．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第(1)问的条件下，若函数f(x)在[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．
解：(1)由表中数据可知，f(x)先单调递增后单调递减，
因为f(x)＝ax3＋b与f(x)＝abx都是单调函数，
所以不符合题意．
因为f(x)＝－x2＋ax＋b先单调递增后单调递减，
所以符合题意．
由表格数据得
解得
所以f(x)＝－x2＋10x＋4．
(2)由(1)知f(x)＝－x2＋10x＋4，故图象的对称轴为直线x＝5，
所以f(x)在(－∞，5]上单调递增，在[5，＋∞)上单调递减．
因为f(0)＝4，f(5)＝29，所以m≥5．
又因为f(x)＝－x2＋10x＋4＝4时，x＝0或x＝10，
所以m≤10．
综上所述，5≤m≤10．故m的取值范围是[5，10]．
C级——创新拓展练
14．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲在最前面；
②当x＞1时，乙在最前面；
③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为__________(填序号)．
【答案】③④⑤
【解析】路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，∴①错误．当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，∴②错误．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而可知当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面，∴③正确．指数函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，∴⑤正确．结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，∴④正确．
