第四章 4.4 第1课时
A级——基础过关练
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．x D．2x－2
3．函数y＝loga(x－2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
4．(多选)下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点可以是( )
A．(1，1) B．(2，2)
C．(2，4) D．
5．若点(a，b)在y＝log2x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A． B．(2a，1－b)
C． D．(a2，2b)
6．(多选)满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝ln x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
7．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．
8．函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点____________．
9．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是________．(填上正确的序号)
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1．
10．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
11．(多选)已知函数y＝log2，下列说法正确的有( )
A．图象关于原点对称 B．图象关于y轴对称
C．图象过原点 D．定义域为(－2，2)
12．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________；若幂函数y＝f(x)的图象经过定点P，且f(4)＝2m，则m＝__________．
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1．
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
14．(多选)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是( )
A．a＝2
B．函数f(x)为增函数
C．若x＞3，则f(x)＞1
D．若0＜x1＜x2，则＞f第四章 4.4 第1课时
A级——基础过关练
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3．故选C．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．x D．2x－2
【答案】A
【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax．又因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．
3．函数y＝loga(x－2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
【答案】C
【解析】令x－2＝1，得x＝3．当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．
4．(多选)下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点可以是( )
A．(1，1) B．(2，2)
C．(2，4) D．
【答案】BD
【解析】对于A，若点(1，1)在函数y＝ax的图象上，解得a＝1，此时对数函数y＝logax不成立，故A不符合题意；对于B，若点(2，2)在函数y＝ax的图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx的图象也过点(2，2)，故B符合题意；对于C，若点(2，4)在函数y＝ax的图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不成立，故C不符合题意；对于D，若点在函数y＝ax的图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx的图象也过点，故D符合题意．故选BD．
5．若点(a，b)在y＝log2x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A． B．(2a，1－b)
C． D．(a2，2b)
【答案】D
【解析】若点(a，b)在y＝log2x的图象上，则b＝log2a，所以2b＝2log2a＝log2a2，即(a2，2b)也在函数y＝log2x的图象上．
6．(多选)满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝ln x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
【答案】AC
【解析】∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x，f(x)＝ln x3＝3ln x满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选AC．
7．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．
【答案】1
【解析】由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．又因为a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
8．函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点____________．
【答案】(3，1)
【解析】因为当x－2＝1，即x＝3时，f(x)＝loga(x－2)＋1＝1，所以f(x)＝loga(x－2)＋1的图象恒过定点(3，1)．
9．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是________．(填上正确的序号)
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1．
【答案】③
【解析】由图象知函数为增函数，故n＞1．又因为当x＝1时，f(1)＝m＞0，所以m＞0．
10．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将点(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2．
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)．
由x＋2＞0，解得x＞－2．
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
B级——综合运用练
11．(多选)已知函数y＝log2，下列说法正确的有( )
A．图象关于原点对称 B．图象关于y轴对称
C．图象过原点 D．定义域为(－2，2)
【答案】ACD
【解析】由于函数的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又因为f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又因为当x＝0时，y＝0．故选ACD．
12．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________；若幂函数y＝f(x)的图象经过定点P，且f(4)＝2m，则m＝__________．
【答案】(2，2) 3
【解析】对于函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)，令x－1＝1，求得x＝2，y＝2，可得它的图象恒过定点P(2，2)．∵幂函数y＝f(x)＝xα的图象经过定点P(2，2)，∴2＝2＝2α，则α＝，故f(x)＝x．∴f(4)＝4＝23＝2m，∴m＝3．
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1．
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解：(1)设V＝k·log3，k≠0，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3．
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3 log3＝3 ＝33＝27，∴Q＝2 700，即当一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时，耗氧量为2 700个单位．
C级——创新拓展练
14．(多选)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是( )
A．a＝2
B．函数f(x)为增函数
C．若x＞3，则f(x)＞1
D．若0＜x1＜x2，则＞f
【答案】BC
【解析】由题意知，loga9＝2，解得a＝3，所以f(x)＝log3x，所以函数f(x)为增函数，故A错误，B正确；当x＞3时，f(x)＝log3x＞log33＝1，所以f(x)＞1，故C正确；因为＝＝log3，f＝log3，又0＜x1＜x2，所以＜，所以log3＜log3，即＜f，故D错误．故选BC．
