第四章 4.4 第2课时
A级——基础过关练
1．下列各式错误的是( )
A．ln 0.8＞ln 0.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．lg 1.6＜lg 1.4 D．0.30.8＜0.30.7
【答案】C
【解析】由对数函数的性质可知，函数y＝lg x为增函数．又因为1.4＜1.6，所以lg 1.6＞lg 1.4．故C错误．故选C．
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】因为lg (2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7．所以x的取值范围是(2，7]．故选B．
3．已知函数f(x)＝loga(x－m)(a＞0，且a≠1)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
【答案】A
【解析】将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，得解得则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性．函数f(x)在定义域上是增函数．
4．(2024年肇庆模拟)已知a＝1.013.2，b＝0.523.2，c＝log0.523.2，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【答案】A
【解析】幂函数y＝x3.2在(0，＋∞)上单调递增，故a＝1.013.2＞0.523.2＝b＞0，又c＝log0.523.2＜log0.521＝0，所以a＞b＞c．故选A．
5．(2024年锦州期末)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式m1－m2＝lg E－lg E，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为( )
A．10 B．10－
C．lg D．lg
【答案】B
【解析】∵m1－m2＝lg E－lg E＝lg ＝－0.75(所求为牛郎星的亮度比织女星的亮度，所以牛郎星为2，织女星为1)，∴＝10－．故选B．
6．(多选)(2024年乐山期末)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)，则以下说法正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为(－1，1) B．函数f(x)的值域为(－∞，0]
C．函数f(x)是定义域上的奇函数 D．函数f(x)是定义域上的偶函数
【答案】ABD
【解析】根据题意，f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)，则有1＋x＞0且1－x＞0，解可得－1＜x＜1，即函数的定义域为(－1，1)，故A正确；f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)＝log2(1－x2)，令t＝1－x2，由－1＜x＜1，得0＜t≤1，则y＝log2t，t∈(0，1]，y＝log2t≤0，所以原函数的值域为(－∞，0]，故B正确；根据题意，f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)，其定义域为(－1，1)，因为定义域关于原点对称，且f(－x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C错误，D正确．故选ABD．
7．已知y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值为__________．
【答案】
【解析】∵y＝|log2x|，∴x＝2y或x＝2－y．∵0≤y≤2，观察y＝|log2x|的图象(略)，观察图象易得适合题意的区间[a，b]有无数个，其中临界点分别为，1，4，∴1≤x≤4或≤x≤1．即a＝1，b＝4或a＝，b＝1．于是(b－a)min＝．
8．比较大小：
(1)log22__________log2；
(2)log8π__________logπ8．
【答案】(1)＞ (2)＜
【解析】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2．
(2)因为函数y＝log8x为定义域上的增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1．同理，1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8．
9．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是__________．
【答案】
【解析】因为y＝log5x与y＝2x＋1均为定义域上的增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调递增区间是．
10．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间上单调递增，
且f＝0，f(2)＝log415，
所以f(x)在上的值域为[0，log415]．
B级——综合运用练
11．已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为( )
A．[，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
【答案】A
【解析】∵f(x)的值域为[1，2]，∴1≤log2x≤2，∴2≤x≤4，∴f(x)的定义域为[2，4]．∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)满足解得≤x≤2，∴φ(x)的定义域为[，2]．故选A．
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的值域是[0，1]，则实数a＝__________；此时，若函数g(x)＝ax＋m－的图象不经过第二象限，则m的取值范围为__________．
【答案】3 (－∞，－2]
【解析】因为x∈[0，2]，则x＋1∈[1，3]．当a＞1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递增，∴解得a＝3．当0＜a＜1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递减，∴无解．故a＝3．函数g(x)＝3x＋m－在R上单调递增，函数图象不经过第二象限，∴g(0)＝3m－≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]．
13．(2024年信阳期末)已知函数f(x)＝log2·log2．
(1)当x∈[2，8]时，求该函数的值域；
(2)若不等式f(x)≥mlog2x在x∈[4，16]上有解，求m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝log2log2＝(log2x－2)(log2x－1)，
由对数函数的单调性可知，当x∈[2，8]时，log2x∈[1，3]，
令log2x＝t，t∈[1，3]，即可得g(t)＝(t－2)(t－1)＝t2－3t＋2，t∈[1，3]，
可知g(t)＝t2－3t＋2的图象开口向上，对称轴为直线t＝，
由二次函数的性质可知，当t＝时，g(t)min＝－，当t＝3时，g(t)max＝2，
所以可得当x∈[2，8]时，函数f(x)的值域为．
(2)当x∈[4，16]时，log2x∈[2，4]，令log2x＝t，t∈[2，4]，
可得(t－2)(t－1)＝t2－3t＋2≥mt，即t2－3t＋2≥mt在t∈[2，4]上有解，
整理可得t＋－3≥m在t∈[2，4]上有解，
因为函数h(t)＝t＋－3在t∈[2，4]上单调递增，所以当t＝4时，h(t)max＝，
所以m的取值范围是．
C级——创新拓展练
14．(2024年广州期末)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，若－1＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b＋2的取值范围是__________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】因为f(x)＝|log2(x＋1)|＝
所以－1＜a＜0＜b，且f(a)＝f(b)，即－log2(a＋1)＝log2(b＋1)，整理得(a＋1)·(b＋1)＝1．所以a＋b＋2＝(a＋1)＋(b＋1)＝(a＋1)＋＞2＝2(a≠0)，所以a＋b＋2的取值范围是(2，＋∞)．第四章 4.4 第2课时
1．下列各式错误的是( )
A．ln 0.8＞ln 0.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．lg 1.6＜lg 1.4 D．0.30.8＜0.30.7
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
3．已知函数f(x)＝loga(x－m)(a＞0，且a≠1)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
4．(2024年肇庆模拟)已知a＝1.013.2，b＝0.523.2，c＝log0.523.2，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
5．(2024年锦州期末)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式m1－m2＝lg E－lg E，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为( )
A．10 B．10－
C．lg D．lg
6．(多选)(2024年乐山期末)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)，则以下说法正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为(－1，1) B．函数f(x)的值域为(－∞，0]
C．函数f(x)是定义域上的奇函数 D．函数f(x)是定义域上的偶函数
7．已知y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值为__________．
8．比较大小：
(1)log22__________log2；
(2)log8π__________logπ8．
9．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是__________．
10．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
11．已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为( )
A．[，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的值域是[0，1]，则实数a＝__________；此时，若函数g(x)＝ax＋m－的图象不经过第二象限，则m的取值范围为__________．
13．(2024年信阳期末)已知函数f(x)＝log2·log2．
(1)当x∈[2，8]时，求该函数的值域；
(2)若不等式f(x)≥mlog2x在x∈[4，16]上有解，求m的取值范围．
14．(2024年广州期末)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，若－1＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b＋2的取值范围是__________．
