第四章 4.5 4.5.1
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
3．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝3x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
4．函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是( )
A． B．
C． D．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
6．(多选)(2024年黔西南州期末)已知函数f(x)＝2x－x2，其零点所在的区间为( )
A．(－1，0) B．(1，3)
C．(3，5) D．(5，6)
7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有__________个．
8．已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是__________；不等式f(x)≤0的解集为______________．
9．若方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m的取值范围为__________．
10．已知函数f(x)＝3x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
11．(2023年汝州月考)已知函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，则函数g(x)＝lognx＋nx的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是__________，该零点是__________．
13．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．
14．(2024年潮州期末)已知函数f(x)＝|ln x|－m有两个零点分别为a和b，则a＋b的取值范围是__________．第四章 4.5 4.5.1
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
【答案】B
【解析】方程2x2－3x＋1＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝，所以f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1．
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，解得b＝±2．
3．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝3x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
【答案】B
【解析】对于A，y＝x，其定义域为(0，＋∞)，为减函数，不符合题意；对于B，y＝3x－1，在(－1，1)上有零点x＝0，且在(－1，1)上单调递增，符合题意；对于C，y＝x2－，为二次函数，在(－1，0)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝－x3，在(－1，1)上单调递减，不符合题意．故选B．
4．函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为f(x)＝4x－x2是连续函数，f(－1)＝－1＝－＜0，f＝2－＝＞0，f(－1)·f＜0，所以根据零点存在定理，可得f(x)的零点所在的大致区间是，A正确．同理可验证B，C，D均不正确．故选A．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
【答案】BD
【解析】函数的零点是数，不是点，A错误；由2x－1＝0，得x＝0，B正确；函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，D正确，C错误．故选BD．
6．(多选)(2024年黔西南州期末)已知函数f(x)＝2x－x2，其零点所在的区间为( )
A．(－1，0) B．(1，3)
C．(3，5) D．(5，6)
【答案】ABC
【解析】函数f(x)＝2x－x2是连续函数，∵f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＝2－1＝1＞0，f(3)＝8－9＝－1＜0，f(5)＝32－25＝7＞0，f(6)＝64－36＞0．∴f(－1)f(0)＜0，f(3)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，∴由零点判定定理可知函数的零点所在区间为(－1，0)，(1，3)，(3，5)．故选ABC．
7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有__________个．
【答案】3
【解析】因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以令f(x)＝0，解得x＝－5或x＝1或x＝2．故零点有3个．
8．已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是__________；不等式f(x)≤0的解集为______________．
【答案】－2，0 (－∞，－2]∪{0}
【解析】令f(x)＝(x＋2)x2＝0，解得x＝－2或x＝0，即f(x)的零点为－2或0．由f(x)≤0，得(x＋2)x2≤0 或x＝0，解得x≤－2或x＝0，即不等式的解集为(－∞，－2]∪{0}．
9．若方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，所以即解得－＜m＜0．
10．已知函数f(x)＝3x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解：有解．理由如下：
因为f(－1)＝3－1－×(－1)2＝－＜0，f(0)＝30－02＝1＞0，
且函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
B级——综合运用练
11．(2023年汝州月考)已知函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，则函数g(x)＝lognx＋nx的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，∴loga(m＋n)＋am－n＝1，∴解得故函数g(x)＝lognx＋nx＝logx＋在(0，＋∞)上单调递减．由于g(1)＝＞0，g(2)＝－1＋＜0，故g(x)在区间(1，2)上存在唯一零点．故选A．
12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是__________，该零点是__________．
【答案】－2 0
【解析】由题意知方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0．当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±2．当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1，不合题意，舍去．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1．又因为t＞0，所以t1＞0，t2＞0，则原方程有两个根，这种情况不可能．综上所述，当m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0．
13．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．
解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数解，
则解得k＝－2．
(2)由题意知α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数解，
∴
则
∴α2＋β2在区间内的取值范围为．故α2＋β2的取值范围为．
C级——创新拓展练
14．(2024年潮州期末)已知函数f(x)＝|ln x|－m有两个零点分别为a和b，则a＋b的取值范围是__________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】不妨设0＜a＜b，函数f(x)＝|ln x|－m有两个零点分别为a和b，则|ln a|－m＝|ln b|－m＝0，即|ln a|＝|ln b|，即－ln a＝ln b，即ln a＋ln b＝0，即ab＝1，故a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，此时a＝b不满足题意，故a＋b＞2，所以a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
