第四章 4.5 4.5.2
1．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是( )
2．(2024年温州期末)设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：
x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) －1.73 －0.84 －0.42 0.03 2.69
依据此表格中的数据，得到的方程近似解x0可能是( )
A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375
C．x0＝0.525 D．x0＝1.5
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
4．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
6．(2024年菏泽期末)在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
7．(2024年惠州期末)若用二分法求方程2x3＋3x－3＝0在初始区间(0，1)内的近似解，则第二次取区间的中点x2＝__________．
8．(2024年上海闵行区期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝__________．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点的值 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn|
(1，1.5) 0.5
1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 0.25
1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 0.125
1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5，1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为__________．
10．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．
11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
12．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是__________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0＝__________．
13．已知函数f(x)＝．
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
(2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
14．(多选)(2024年宝鸡期末)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在(1.25，1.5)上有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算f(1.312 5)
D．没有达到精确度，应该接着计算f(1.437 5)第四章 4.5 4.5.2
A级——基础过关练
1．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是( )
【答案】ABD
【解析】根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
2．(2024年温州期末)设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：
x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) －1.73 －0.84 －0.42 0.03 2.69
依据此表格中的数据，得到的方程近似解x0可能是( )
A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375
C．x0＝0.525 D．x0＝1.5
【答案】C
【解析】由表格数据可知，h(0.437 5)＜0，h(0.75)＞0，又因为函数h(x)在[0.437 5，0.75]上连续，且函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)在区间[0.437 5，0.75]上存在一个零点，又因为0.75－0.437 5＝0.312 5＜0.5，即方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)可以是区间[0.437 5，0.75]内的任意一个数，观察四个选项可知，C选项正确．故选C．
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
【答案】C
【解析】因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
4．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【答案】D
【解析】设f(x)＝log3x－(5－x)．因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D．
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
【答案】C
【解析】因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5，2.75)内．故选C．
6．(2024年菏泽期末)在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为区间(1，2)的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的，3次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＝＞0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＝＜0.1，满足题意．故选C．
7．(2024年惠州期末)若用二分法求方程2x3＋3x－3＝0在初始区间(0，1)内的近似解，则第二次取区间的中点x2＝__________．
【答案】
【解析】设f(x)＝2x3＋3x－3，则f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，∴第一次取区间(0，1)的中点x1＝，f＝－＜0，∴f·f(1)＜0，故f(x)的零点所在的区间为，第二次取区间的中点x2＝．
8．(2024年上海闵行区期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝__________．
【答案】
【解析】二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，f(x)＝x－4log2x，则f(1)＝1＞0，f(3)＝3－4log23＜0，故零点所在区间为(1，3)，第二次计算f(2)的值，f(2)＝2－4log22＝－2＜0，故零点所在区间为(1，2)，所以第三次计算f的值，即x2＝．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点的值 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn|
(1，1.5) 0.5
1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 0.25
1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 0.125
1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5，1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为__________．
【答案】1.312 5(答案不唯一)
【解析】因为精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数零点的近似值为1.312 5．
10．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．
解：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．
从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端．若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面．
将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面．
从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端．若天平平衡，则剩下的那一枚是假币；若不平衡，则质量小的那一枚是假币．
综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
B级——综合运用练
11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】B
【解析】由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则解得－＜m＜5．故选B．
12．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是__________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0＝__________．
【答案】5
【解析】开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.05，即2n＞20，解得n≥5．故计算5次就可满足要求，所以将区间(0，1)等分的次数至少是5次．因为f(0)＜0，f(1)＞0，f＜0，所以第一次得到区间为；因为f＞0，所以第二次得到区间为；因为f＞0，所以第三次得到区间为；因为f＜0，所以第四次得到区间为；因为f＞0，所以第五次得到区间为．所以函数零点为＝．
13．已知函数f(x)＝．
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
(2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
解：(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
令0≤x1＜x2，则x1－x2＜0，
由于f(x1)－f(x2)＝－＝＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝＋log2x－2是增函数．
∵g(1)＝1＋log21－2＝－1＜0，
g(2)＝＋log22－2＝－1＞0，
∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点．
∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19＜0，
g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13＞0，
∴函数的零点在(1.5，1.75)．
∵1.75－1.5＝0.25＜0.3，
∴g(x)零点的近似值为1.5．
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以)
C级——创新拓展练
14．(多选)(2024年宝鸡期末)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在(1.25，1.5)上有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算f(1.312 5)
D．没有达到精确度，应该接着计算f(1.437 5)
【答案】AD
【解析】∵f(1.25)f(1.5)≈－0.984×0.625＜0，∴由函数零点存在定理知，方程x3＋x2－2x－2＝0在区间(1.25，1.5)有实根，而1.5－1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)．故选AD．
