第四章 4.5 4.5.3
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
4．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
5．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：A)与电线半径r(单位：mm)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4 mm的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3 mm 的电线时，电流强度为( )
A．60 A B．240 A
C．75 A D．135 A
6．(多选)图片所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，则以下叙述正确的有( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
7．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定，已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__________．
8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是__________．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b．现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为__________万件．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间？
11．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道宽带W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
12．人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝10lg ．等级为0 dB的声音强度是__________，90 dB与60 dB的声音强度之比是__________．
13．某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低．
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
14．(多选)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg ．根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论正确的是(参考数据：100.1≈1.26)( )
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8第四章 4.5 4.5.3
A级——基础过关练
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
【答案】D
【解析】代入数值检验，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D选项，符合题意．
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
【答案】C
【解析】设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9．∴x年后的湖水量为y＝0.9m．
4．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
【答案】A
【解析】由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1，2)，所以图象由指数函数来模拟比较好．
5．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：A)与电线半径r(单位：mm)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4 mm的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3 mm 的电线时，电流强度为( )
A．60 A B．240 A
C．75 A D．135 A
【答案】D
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3．由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3．故当r＝3时，I＝5×33＝135．故选D．
6．(多选)图片所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，则以下叙述正确的有( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【解析】∵点(1，2)在函数图象上，∴a1＝2，即a＝2，故A正确．∵函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故B正确．当t＝2时，y＝4，经过1.5月后面积是23.5＜12．故C不正确．根据图象可知1～2月增加2 m2，2～3月增加4 m2，故D不正确．
7．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定，已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__________．
【答案】180米
【解析】由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60．所以x＝60t－5t2．由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值，为180，即弓箭能达到的最大高度为180米．
8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是__________．
【答案】－1
【解析】设6年间的平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b．现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为__________万件．
【答案】1.75
【解析】由题意得解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间？
解：由题意知40－24＝(88－24)，即＝，
解得h＝10，故T－24＝(88－24)·．
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝．
两边取对数，解得t≈25.4．
因此，约需要25.4 min咖啡可降温到35 ℃．
B级——综合运用练
11．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道宽带W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
【答案】A
【解析】当＝1 000时，C＝Wlog2(1＋1 000)，当＝2 000时，C＝Wlog2(1＋2 000)，则＝－1≈－1＝lg 2，又＝lg 10＜lg 2＜lg 10＝，根据选项分析，lg 2≈0.1，所以将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了10%．
12．人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝10lg ．等级为0 dB的声音强度是__________，90 dB与60 dB的声音强度之比是__________．
【答案】10－12 1 000
【解析】当f(x)＝0时，x＝10－12；当f(x)＝90时，x＝10－3；当f(x)＝60时，x＝10－6，＝103．所以等级为0 dB的声音强度是10－12，90 dB与60 dB的声音强度之比是1 000．
13．某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低．
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
解：(1)若a＝，则f(x)＝＋2≥2．
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，得x＋1＝25＝5，即x＝4，
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1．
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
所以解得a≤．
又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在内．
C级——创新拓展练
14．(多选)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg ．根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论正确的是(参考数据：100.1≈1.26)( )
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
【答案】BD
【解析】当x＝0.1时，代入y＝5＋2lg x，可得y＝5－2＝3，代入y＝5－lg ，可得y＝5－1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确；当y＝5.0时，由y＝5－lg ，解得x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误；当y＝4.9时，由y＝5－lg ，解得x≈0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确．故选BD．
