第五章 5.1 5.1.2
A级——基础过关练
1．对应的角度为( )
A．75° B．125°
C．135° D．155°
【答案】B
【解析】＝×°＝125°．故选B．
2．2 100°化成弧度是( )
A．π B．10π
C．π D．π
【答案】A
【解析】2 100°＝2 100×＝．故选A．
3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【答案】C
【解析】当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
4．(多选)(2024年河南期末)已知角θ与－的终边相同，则角θ可以是( )
A．－ B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意得θ＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1 时，θ＝，当k＝2 时，θ＝．故选BC．
5．(2024年宁波鄞州区月考)已知扇形的周长为18 cm，面积为14 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A．7或 B．
C．7 D．
【答案】D
【解析】设扇形的半径为r cm，圆心角的弧度数为θ，则扇形的弧长为θr，故θr＋2r＝18．又θr2＝14，解得θ＝7(7＞2π，舍去)或θ＝．故选D．
6．(多选)(2024年重庆长寿区期中)下列结论正确的是( )
A．－是第二象限角
B．第三象限角的集合为
C．终边在y轴上的角的集合为
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
【答案】AC
【解析】对于A，－与是终边相同的角，是第二象限角，故－是第二象限角，故A正确；对于B，第三象限角的集合为，故B错误；对于C，终边在y轴上的角的集合为，故C正确；对于D，若角α为锐角，则角2α不一定为钝角，如α＝15°，2α＝30°，故D错误．故选AC．
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是__________弧度，扇形面积是__________．
【答案】 48
【解析】α＝＝＝，S＝l·r＝×12×8＝48．
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝__________．
【答案】
【解析】－＝－4π＋，所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z．又α∈(0，π)，所以α＝．
9．圆弧的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的__________．
【答案】
【解析】设原来圆弧的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π)，则现在的圆弧的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π)，于是l＝αr＝β·3r，所以β＝α．
10．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；
(2)π．
解：(1)因为－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°＝－5·2π＋＝－10π＋，
所以－1 500°与终边相同，是第四象限角．
(2)因为π＝2π＋π，所以π与π终边相同，是第四象限角．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年华安月考)下列表示正确的是( )
A．与终边相同的角的集合是
B．π＝180°
C．在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2π
D．第二象限角都是钝角
【答案】ABC
【解析】与终边相同的角的集合是，A正确；π rad＝180°，B正确；在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为×6＝2π，C正确；第二象限角的取值范围为(k∈Z)，不一定为钝角，D错误．故选ABC．
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是__________m2(精确到1 m2)．
【答案】9
【解析】＝120°，根据题意，弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．
13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10 cm，∴l＝αR＝(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50(cm2)．
(2)有l＋2R＝30，∴l＝30－2R，0＜R＜15，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－＋．
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2．
C级——创新拓展练
14．(2024年南京期末)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD＝－1，锯道AB＝2，则图中的长度为( )
A． B．
C．π D．π
【答案】B
【解析】由题意可设OA＝OC＝r，且AD＝AB＝1，则OD＝＝．又CD＝OC－OD＝r－＝－1，解得r＝，所以AD＝OD＝1，则∠AOD＝∠BOD＝，所以的长度为×2×＝．故选B．第五章 5.1 5.1.2
A级——基础过关练
1．对应的角度为( )
A．75° B．125°
C．135° D．155°
2．2 100°化成弧度是( )
A．π B．10π
C．π D．π
3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
4．(多选)(2024年河南期末)已知角θ与－的终边相同，则角θ可以是( )
A．－ B．
C． D．
5．(2024年宁波鄞州区月考)已知扇形的周长为18 cm，面积为14 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A．7或 B．
C．7 D．
6．(多选)(2024年重庆长寿区期中)下列结论正确的是( )
A．－是第二象限角
B．第三象限角的集合为
C．终边在y轴上的角的集合为
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是__________弧度，扇形面积是__________．
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝__________．
9．圆弧的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的__________．
10．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；
(2)π．
11．(多选)(2024年华安月考)下列表示正确的是( )
A．与终边相同的角的集合是
B．π＝180°
C．在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2π
D．第二象限角都是钝角
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是__________m2(精确到1 m2)．
13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
14．(2024年南京期末)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD＝－1，锯道AB＝2，则图中的长度为( )
A． B．
C．π D．π
