第五章 5.2 5.2.2
A级——基础过关练
1．若α∈且sin3α＝，则cos 3α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sinφ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
4．已知cos α＋sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
5．(2024年眉山期末)已知α是第四象限角，tan α＝－，则cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
6．(多选)(2024年江苏期末)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝
C．tan θ＝－ D．sin θcos θ＝－
7．(2024年汕尾期末)已知sin α＝，且α是第二象限角，则cos α＝__________．
8．若sinθ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________．
9．已知tanα＝－2，则＝__________．
10．(2024年梅州期末)已知sin α＝，且α是第二象限角．
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
11．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
12．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝__________，tan2α＋＝__________．
13．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos2θ的值．
14．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．第五章 5.2 5.2.2
A级——基础过关练
1．若α∈且sin3α＝，则cos 3α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α＞0，∴cos 3α＝＝＝．
2．已知sinφ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】C
【解析】因为sin φ＝－，所以cos2φ＝1－sin2φ＝1－＝．又因为|φ|＜，即－＜φ＜，所以cosφ＝，从而tan φ＝＝＝－．
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
【答案】C
【解析】sin α－cos α＝－，故(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝－8．故选C．
4．已知cos α＋sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
【答案】A
【解析】由已知得(cos α＋sin α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－．
5．(2024年眉山期末)已知α是第四象限角，tan α＝－，则cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】C
【解析】∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cos α＞0．
由?＝－，
sin2α＋cos2α＝1，?解得(舍去)或
6．(多选)(2024年江苏期末)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝
C．tan θ＝－ D．sin θcos θ＝－
【答案】AD
【解析】sin θ＋cos θ＝，两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，解得sin θcos θ＝－＜0，D正确；故sin θ，cos θ异号，因为θ∈(0，π)，所以θ∈，A正确；因为?sin θ＋cos θ＝，
sin2θ＋cos2θ＝1，?结合θ∈，得到sin θ＞0，cos θ＜0，解得sin θ＝，cos θ＝－，故tan θ＝－，B，C错误．故选AD．
7．(2024年汕尾期末)已知sin α＝，且α是第二象限角，则cos α＝__________．
【答案】－
【解析】∵sin α＝，且α是第二象限角，∴cos α＝－＝－．
8．若sinθ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________．
【答案】－
【解析】由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cos θ＝－＝－＝－．
9．已知tanα＝－2，则＝__________．
【答案】
【解析】因为tan α＝－2，所以＝＝．
10．(2024年梅州期末)已知sin α＝，且α是第二象限角．
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)因为sinα＝，且α是第二象限角，
所以cos α＝－，故tan α＝＝－＝－．
(2)＝＝．
B级——综合运用练
11．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
【答案】A
【解析】(1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α．
12．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝__________，tan2α＋＝__________．
【答案】 7
【解析】因为tanα＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7．
13．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos2θ的值．
解：(1)因为sinθ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根，
所以sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
由(sin θ＋cos θ)2＝，
得1＋2sin θcos θ＝1＋m＝，所以m＝－．
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝．
(3)由(1)知sin θ＋cos θ＝①，
sin θcos θ＝－，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝＝．
因为θ∈，
所以cos θ＞0，sin θ＜0，cos θ－sin θ＝②，
所以由①②可得cos θ＝，
所以cos2θ＝．
C级——创新拓展练
14．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．
解：(1)cos4－sin4＝＝cos2－sin2＝－＝＝cos．
由此发现cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值相等．
(2)cos4－sin4＝＝cos2－sin2＝－＝0＝cos．
由此发现cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值相等．
(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x．
(4)cos2x－sin2x＝cos2x．
