第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．函数y＝sin ，x∈R在( )
A．上单调递增 B．[0，π]上单调递减
C．[－π，0]上单调递减 D．[－π，π]上单调递减
【答案】B
【解析】因为y＝sin ＝cos x，所以函数在区间[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减．
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项正确的是( )
A．f(x)在上单调递减 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
【答案】AB
【解析】因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A正确；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．
3．使y＝sin x和y＝cos x均单调递减的一个区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象知，y＝sin x和y＝cos x均单调递减的一个区间是．
4．sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
A．sin 1＜sin 2＜sin 3 B．sin 2＜sin 3＜sin 1
C．sin 3＜sin 1＜sin 2 D．sin 3＜sin 2＜sin 1
【答案】C
【解析】因为1＜＜2＜3＜π，sin (π－2)＝sin 2，sin (π－3)＝sin 3，y＝sin x在上是增函数，且0＜π－3＜1＜π－2＜，所以sin (π－3)＜sin 1＜sin (π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2．
5．(2024年永州二模)已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)(0＜φ＜2π)在区间上单调递增，则φ＝( )
A． B．
C． D．π
【答案】D
【解析】根据题意，函数f(x)＝sin (3x＋φ)，其周期T＝，在一个周期内，f(x)的增区间和减区间的长度都是．又由f(x)在区间上单调递增，而－＝，必有3×＋φ＝2kπ－且3×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，变形可得φ＝2kπ－π，k∈Z．又由0＜φ＜2π，必有k＝1，此时φ＝π．故选D．
6．(2024年辽源西安区期末)已知函数f(x)＝sin 在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
【答案】A
【解析】令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z．又f(x)在区间[－a，a]上单调递增，∴[－a，a] ，k∈Z．由a＞0，－a＜0，得k＝0，∴解得0＜a≤，则实数a的最大值是．故选A．
7．y＝的最小值是________．
【答案】－1
【解析】y＝＝1－，当cos x＝－1时，y＝取得最小值－1．
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为__________．
【答案】[0，2]
【解析】∵y＝|sin x|＋sin x＝又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．
9．函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】由题意可知f(x)＝－·sin ，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．又因为0≤x≤π，所以f(x)的单调递减区间为．同理，f(x)的单调递增区间为．
10．比较下列各组值的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin 与cos 5．
解：(1)sin ＝sin ，sin ＝sin ，
∵0＜＜＜，且y＝sin x在上单调递增，
∴sin ＜sin ，即sin ＜sin ．
(2)sin ＝cos ，cos 5＝cos (2π－5)，
而－和2π－5均为锐角，且2π－5＜－，
又∵y＝cos x在上单调递减，
∴cos ＜cos (2π－5)，即sin ＜cos 5．
B级——综合运用练
11．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A．4π B．
C．2π D．
【答案】C
【解析】由题意知，当该正弦函数的定义域为(k∈Z)时，b－a取得最小值；当该正弦函数的定义域为(k∈Z)时，b－a取得最大值．所以b－a的最大值与最小值之和为＋＝2π．故选C．
12．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝__________，函数y＝－4a cos bx的最大值为__________．
【答案】 2
【解析】∵y＝a－b cos x(b＞0)，∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－．由解得∴y＝－4a cos bx＝－2cos x，∴函数y＝－4a cos bx的最大值为2．
13．(2024年安顺期末)已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若a＞0，且函数g(x)＝af(x)＋b在区间上的值域为[0，3]，求实数a，b的值．
解：(1)因为f(x)的最小正周期为，ω＞0，
故＝，解得ω＝4，故f(x)＝sin ．
令＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z．
(2)根据x∈可得4x＋∈，
故f(x)∈．
又a＞0，故g(x)∈．
由题意解得a＝2，b＝1．
C级——创新拓展练
14．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】(方法一)由题意得
则
又ω＞0，所以所以k＝0，则0＜ω≤．
(方法二)取ω＝1，则f(x)＝sin ．令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．当k＝0时，f(x)在上单调递减，与f(x)在上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B．第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．函数y＝sin ，x∈R在( )
A．上单调递增 B．[0，π]上单调递减
C．[－π，0]上单调递减 D．[－π，π]上单调递减
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项正确的是( )
A．f(x)在上单调递减 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
3．使y＝sin x和y＝cos x均单调递减的一个区间是( )
A． B．
C． D．
4．sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
A．sin 1＜sin 2＜sin 3 B．sin 2＜sin 3＜sin 1
C．sin 3＜sin 1＜sin 2 D．sin 3＜sin 2＜sin 1
5．(2024年永州二模)已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)(0＜φ＜2π)在区间上单调递增，则φ＝( )
A． B．
C． D．π
6．(2024年辽源西安区期末)已知函数f(x)＝sin 在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
7．y＝的最小值是________．
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为__________．
9．函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
10．比较下列各组值的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin 与cos 5．
11．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A．4π B．
C．2π D．
12．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝__________，函数y＝－4a cos bx的最大值为__________．
13．(2024年安顺期末)已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若a＞0，且函数g(x)＝af(x)＋b在区间上的值域为[0，3]，求实数a，b的值．
14．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
