第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝cos (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】由于x∈R，且f(－x)＝cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
2．(2024年牡丹江期末)函数y＝3cos 的最小正周期是( )
A．2π B．
C． D．π
【答案】B
【解析】由于函数y＝3cos 的最小正周期T＝＝．故选B．
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝3x－sin x D．y＝x2＋sin x
【答案】C
【解析】C选项中，令f(x)＝3x－sin x，则f(－x)＝3·(－x)－sin (－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，故函数是奇函数．
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
【答案】B
【解析】y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x，是奇函数，其图象关于原点对称．
5．(多选)函数y＝x cos x－sin x的部分图象不可能为( )
【答案】ABD
【解析】函数y＝f(x)＝x cos x－sin x满足f(－x)＝－f(x)，即该函数为奇函数，图象关于原点对称，故B不可能；当x＝π时，y＝f(π)＝πcos π－sin π＝－π＜0，故A不可能；当x＝时，y＝f＝cos －sin ＝－1＜0，故D不可能．
6．(2024年武汉模拟)已知函数f(x)＝cos (2x－2φ)，则“φ＝＋kπ，k∈Z”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数f(x)＝cos (2x－2φ)，当φ＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)＝cos ＝cos (2x－π－2kπ)＝－cos 2x，f(x)为偶函数，所以充分性成立；f(x)为偶函数时，2φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝(k∈Z)，不能得到φ＝＋kπ＝(k∈Z)，所以必要性不成立．故“φ＝＋kπ，k∈Z”是“f(x)为偶函数”的充分不必要条件．故选A．
7．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝__________．
【答案】－3
【解析】由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3．
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于__________．
【答案】0
【解析】因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．
9．函数f(x)＝的奇偶性为__________．
【答案】非奇非偶函数
【解析】由sin x＋1≠0，得x≠－＋2kπ，k∈Z，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1) (x)＝cos cos (π＋x)；
(2) (x)＝＋．
解：(1)因为x∈R，f(x)＝cos ·cos (π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x，
所以f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x)．
所以函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0．
所以f(x)＝＋的定义域为R．
因为f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
B级——综合运用练
11．设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f(x)＝则f＝( )
A． B．－
C．0 D．1
【答案】A
【解析】因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，所以f＝f＝f．又因为0≤≤π，所以f＝f＝sin ＝．
12．(多选)(2024年淮安月考)下列关于函数f(x)＝4sin (x∈R)的命题正确的是( )
A．y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos
B．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C．函数y＝f是奇函数
D．y＝f的图象关于y轴对称
【答案】ACD
【解析】f(x)＝4sin ＝4cos ＝4cos ＝4cos ，A正确；函数f(x)的最小正周期为＝π，B错误；f＝4sin ＝4sin 2x，是奇函数，C正确；f＝4sin ＝4sin ＝4cos 2x为偶函数，图象关于y轴对称，D正确．故选ACD．
13．已知函数f(x)＝cos ，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解：当x∈时，g(x)＝f＝cos ．
因为x＋∈，
所以由g(x)＝，解得x＋＝－或，
即x＝－或－．
又g(x)的最小正周期是π，
所以g(x)＝的解集为．
C级——创新拓展练
14．设函数f(x)＝3sin ，ω＞0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则ω＝__________，sin α＝__________．
【答案】4 ±
【解析】因为f(x)的最小正周期为，ω＞0，所以ω＝＝4．所以f(x)＝3sin ．因为f＝3sin ＝3cos α＝，所以cos α＝．所以sin α＝±＝±．第五章 5.4 5.4.2 第1课时
1．函数f(x)＝cos (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．(2024年牡丹江期末)函数y＝3cos 的最小正周期是( )
A．2π B．
C． D．π
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝3x－sin x D．y＝x2＋sin x
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
5．(多选)函数y＝x cos x－sin x的部分图象不可能为( )
6．(2024年武汉模拟)已知函数f(x)＝cos (2x－2φ)，则“φ＝＋kπ，k∈Z”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝__________．
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于__________．
9．函数f(x)＝的奇偶性为__________．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1) (x)＝cos cos (π＋x)；
(2) (x)＝＋．
11．设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f(x)＝则f＝( )
A． B．－
C．0 D．1
12．(多选)(2024年淮安月考)下列关于函数f(x)＝4sin (x∈R)的命题正确的是( )
A．y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos
B．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C．函数y＝f是奇函数
D．y＝f的图象关于y轴对称
13．已知函数f(x)＝cos ，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
14．设函数f(x)＝3sin ，ω＞0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则ω＝__________，sin α＝__________．
