第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A级——基础过关练
1．(2024年玉溪期末)计算：＝( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为tan＝＝，所以＝×＝．故选C．
2．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．－2
【答案】A
【解析】由题意可得sin α＝－＝－，所以tanα＝2，所以tan 2α＝＝－．故选A．
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
【答案】BD
【解析】对于A，2sin15°cos 15°＝sin 30°＝，A不符合；对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，B符合；对于C，sin215°＋cos215°＝1，C不符合；对于D，＝·＝·tan30°＝，D符合．故选BD．
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈，且sin 2θ＝，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝，∴tanθ＝或tan θ＝．∵θ∈，∴tan θ＞1，故tan θ＝．故选B．
5．(2024年化州期末)已知角α的终边经过点P(3，4)，则cos ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】角α的终边经过点P(3，4)，故|OP|＝＝5，由三角函数的定义知cos α＝，sin α＝，可得cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sin αcos α＝，故cos ＝cos 2αcos －sin 2αsin ＝×－×＝－．故选A．
6．(多选)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
【答案】BCD
【解析】f(x)＝sin x cos x＝sin 2x．由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．故选BCD．
7．(2024年唐山期末)计算：cos2－sin2＝__________．
【答案】
【解析】由二倍角的余弦公式可得cos2－sin2＝cos＝．
8．(2024年重庆沙坪坝区期末)已知2cos ＝sin ，则sin 2α＝__________．
【答案】
【解析】由于2cos ＝sin ，即2sin α＝cos α，即tan α＝，则sin 2α＝＝＝．
9．已知tanx＝2，则tan 2的值为________．
【答案】
【解析】∵tan ＝＝＝，
∴tan 2＝＝．
10．求证：－tan θ tan 2θ＝1．
证明：左边＝－
＝＝＝＝1＝右边．
B级——综合运用练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由sinB sin C＝cos2，得sinB sin C＝，所以2sin B sin C＝1＋cos A＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C)＝1－cos B cos C＋sin B sin C，所以cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos (B－C)＝1．又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°，则B＝C．所以△ABC是等腰三角形．
12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈，则tan 2α＝__________，cos (α＋2β)＝__________．
【答案】 －
【解析】由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝．又∵2α∈，∴cos 2α＝＝，∴tan2α＝＝．∵β∈，β－∈，sin ＝，∴cos ＝，∴sin 2＝2sin ·cos ＝．又∵sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－．又易知2β∈，∴sin 2β＝．又∵cos2α＝＝，∴cos α＝，∴sin α＝，∴cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－．
13．(2024年大通期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6．
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，求函数f(x)的最小值以及相应x的集合．
解：(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin ＋m＋1，
∵x∈，∴2x＋∈，－≤sin ≤1．
∴函数f(x)的最大值为3＋m．
∴3＋m＝6，解得m＝3．
(2)由(1)知f(x)＝2sin ＋4．
当x∈R时，函数f(x)的最小值为2，此时2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时取最小值．
C级——创新拓展练
14．(2024年揭西期末)古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°，则的值为( )
A． B．＋1
C．－＋1 D．－
【答案】D
【解析】由已知得m＝2sin 18°，∴＝＝＝＝＝－．故选D．第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A级——基础过关练
1．(2024年玉溪期末)计算：＝( )
A． B．
C． D．
2．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．－2
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈，且sin 2θ＝，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．或
5．(2024年化州期末)已知角α的终边经过点P(3，4)，则cos ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．(多选)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
7．(2024年唐山期末)计算：cos2－sin2＝__________．
8．(2024年重庆沙坪坝区期末)已知2cos ＝sin ，则sin 2α＝__________．
9．已知tanx＝2，则tan 2的值为________．
B级——综合运用练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈，则tan 2α＝__________，cos (α＋2β)＝__________．
13．(2024年大通期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6．
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，求函数f(x)的最小值以及相应x的集合．
C级——创新拓展练
14．(2024年揭西期末)古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°，则的值为( )
A． B．＋1
C．－＋1 D．－
