第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A级——基础过关练
1．sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin (－β)的化简结果是( )
A．cos α B．cos β
C．sin α D．sin β
【答案】C
【解析】原式＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin (α＋β－β)＝sin α．故选C．
2．已知tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，则tan αtan β等于( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】因为tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，所以＝－，即tan αtan β＝．
3．在△ABC中，如果sin A＝2sin C cos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)．由已知可得sin (B＋C)＝2sin C cos B sin B cos C＋cos B sin C＝2sin C cos B sin B cos C－cos B sin C＝0 sin (B－C)＝0．因为0＜B＜π，0＜C＜π，所以－π＜B－C＜π，所以B＝C．所以△ABC为等腰三角形．故选C．
4．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
【答案】ABC
【解析】sin ＝sin ·cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，A正确；cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，B正确；cos ＝cos ＝cos cos ＋，C正确；cos ＝cos ≠cos －cos ，D不正确．
5．(2024年广东开学考试)已知sin ＋cos ＝sin α，则tan ＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．
【答案】C
【解析】已知sin ＋cos ＝sin α，即(sin α－cos α)＋(cos α＋sin α)＝sin α，所以sin α＝sin α，则sin α＝0，即α＝kπ，k∈Z，所以tan ＝tan ＝tan ＝－1．故选C．
6．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A． B．或
C． D．2kπ＋(k∈Z)
【答案】C
【解析】由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝．又0＜α＋β＜π，故α＋β＝．
7．已知sin x＝，x∈，则tan 的值等于__________．
【答案】7
【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－．所以tan ＝＝7．
8．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝__________．
【答案】－
【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－．所以tan (α＋β)＝＝＝－．
9．(2024年济宁任城区开学考试)已知α，β∈，若sin ＝，cos β＝，则cos (α＋β)＝__________．
【答案】－
【解析】由α，β∈，sin ＝cos α＝，cos β＝，得sin α＝，sin β＝，则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－．
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)．
解：(1)原式＝＝＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－．
(2)原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 25°·tan 20°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋1＋tan 25°tan 20°＝2．
B级——综合运用练
11．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
【答案】CD
【解析】∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan (A＋B)＝，∴选项A，B错误；∵tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，∴tan A tan B＝①，又∵tan A＋tan B＝②，联立①②解得tan A＝tan B＝，∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．
12．(2024年合肥模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin (2α－β)＋sin (α－2β)的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】1 －1
【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin (α－β)＝1．又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，∴即≤α≤π，∴sin (2α－β)＋sin (α－2β)＝sin ＋sin (α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin ．∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin ≤1，即sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范围为[－1，1]．
13．(2024年武汉洪山区期末)已知cos ＝，tan (α＋β)＝，α∈，β∈．
(1)求tan 的值；
(2)求β的值．
解：(1)因为0＜α＜，所以＜α＋＜．
又cos ＝，
所以sin ＝，tan ＝．
(2)因为cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝，
所以sin α＝，
所以tan α＝．
又tan (α＋β)＝，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝．
又β∈，所以β＝．
C级——创新拓展练
14．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan 等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】D
【解析】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，一个直角三角形的面积为＝6a2．设直角三角形的直角边分别为x，y，且x＜y，则由对称性可得y＝x＋a，∴直角三角形的面积为S＝xy＝6a2，可得x＝3a，y＝4a，∴tan θ＝＝，∴tan ＝＝＝＝－．第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A级——基础过关练
1．sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin (－β)的化简结果是( )
A．cos α B．cos β
C．sin α D．sin β
2．已知tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，则tan αtan β等于( )
A．－ B．
C．－ D．
3．在△ABC中，如果sin A＝2sin C cos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
5．(2024年广东开学考试)已知sin ＋cos ＝sin α，则tan ＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．
6．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A． B．或
C． D．2kπ＋(k∈Z)
7．已知sin x＝，x∈，则tan 的值等于__________．
8．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝__________．
9．(2024年济宁任城区开学考试)已知α，β∈，若sin ＝，cos β＝，则cos (α＋β)＝__________．
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)．
B级——综合运用练
11．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
12．(2024年合肥模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin (2α－β)＋sin (α－2β)的最大值为__________，最小值为__________．
13．(2024年武汉洪山区期末)已知cos ＝，tan (α＋β)＝，α∈，β∈．
(1)求tan 的值；
(2)求β的值．
C级——创新拓展练
14．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan 等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
