第五章 5.5 5.5.2 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则函数f(x)的最大值是( )
A． B．1
C． D．2
2．若3π＜x＜4π，则＋＝( )
A．cos B．－cos
C．sin D．－sin
3．函数f(x)＝sin x＋cos x图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
4．若sin x＋cos x＝6－m，则实数m的取值范围是( )
A．[4，8] B．[－6，6]
C．(4，8) D．[4，6]
5．(多选)已知函数f(x)＝cos 2x－2sin x·cos x，则下列结论正确的是( )
A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立
B．f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
6．(多选)以下函数在区间上单调递增的有( )
A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin x－cos x
C．y＝sin x cos x D．y＝
7．已知f(x)＝sin x＋cos x，且锐角θ满足f(θ)＝2，则θ＝____________．
8．(2024年石家庄模拟)函数f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x的最小正周期为__________．
9．(2024年太原期末)函数f(x)＝cos2－sin2＋2sincos 的最大值为________，f(x)取得最大值时x的取值集合为__________．
10．已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2sin2x－1．
(1)求f(x)在区间上的值域；
(2)若f(α)＝－，且α∈，求cos2α的值．
B级——综合运用练
11．(2024年哈尔滨期末)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x，x∈R，则( )
A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为 D．直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
12．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1．连接BC，设∠PAB＝α，则四边形ABCP的面积等于时，α等于__________．
13．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos (x－α)cos α－sin (x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2[f(x)]2在区间上的取值范围．
C级——创新拓展练
14．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OA＝1，矩形CDEF内接于扇形OAB，G为的中点，设∠COG＝x，矩形CDEF的面积为S．
(1)若x＝，求S；
(2)求S的最大值．第五章 5.5 5.5.2 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则函数f(x)的最大值是( )
A． B．1
C． D．2
【答案】D
【解析】由已知易得f(x)＝2sin ．因为x∈，所以x＋∈，所以当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2．故选D．
2．若3π＜x＜4π，则＋＝( )
A．cos B．－cos
C．sin D．－sin
【答案】C
【解析】因为3π＜x＜4π，所以＜＜2π，sin ＜0，cos ＞0．于是＋＝＋＝cos －sin ＝＝sin ．
3．函数f(x)＝sin x＋cos x图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，根据函数y＝A sin (ω x＋φ)图象的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f＝0，所以函数f(x)图象的一个对称中心为．
4．若sin x＋cos x＝6－m，则实数m的取值范围是( )
A．[4，8] B．[－6，6]
C．(4，8) D．[4，6]
【答案】A
【解析】∵sin x＋cos x＝2sin ∈[－2，2]，∴－2≤6－m≤2，∴4≤m≤8．
5．(多选)已知函数f(x)＝cos 2x－2sin x·cos x，则下列结论正确的是( )
A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立
B．f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
【答案】AC
【解析】易知f(x)＝2sin ＝2sin ，∴f(x)的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－π＋kπ≤x≤kπ－(k∈Z)，B错误；f＝2sin ＝2sin 0＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，C正确；f＝2sin ＝－2sin ＝－，所以直线x＝不是对称轴，D错误．
6．(多选)以下函数在区间上单调递增的有( )
A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin x－cos x
C．y＝sin x cos x D．y＝
【答案】BD
【解析】对于A，y＝sin 在上不单调，A错误；对于B，y＝sin 在上单调递增，B正确；对于C，y＝sin 2x在上不单调，C错误；对于D，y＝＝tan x在上单调递增，D正确．
7．已知f(x)＝sin x＋cos x，且锐角θ满足f(θ)＝2，则θ＝____________．
【答案】
【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin ，由f(θ)＝2，得2sin ＝2，解得θ＝．
8．(2024年石家庄模拟)函数f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x的最小正周期为__________．
【答案】π
【解析】因为f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin ，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π．
9．(2024年太原期末)函数f(x)＝cos2－sin2＋2sincos 的最大值为________，f(x)取得最大值时x的取值集合为__________．
【答案】2
【解析】f(x)＝cos2－sin2＋2sin·cos ＝cos x＋sin x＝2sin ．令x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ，k∈Z，∴f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为．
10．已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2sin2x－1．
(1)求f(x)在区间上的值域；
(2)若f(α)＝－，且α∈，求cos2α的值．
解：(1)f(x)＝2sin x cos x＋2sin2x－1
＝sin2x－cos 2x＝2sin ．
因为x∈，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin ≤1．
故f(x)在区间上的值域是[－1，2]．
(2)由f(α)＝－，知sin ＝－＜0，
又因为－≤2α－≤，
所以cos ＝．
故cos 2α＝cos ＝cos ·cos －sinsin ＝×－×＝．
B级——综合运用练
11．(2024年哈尔滨期末)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x，x∈R，则( )
A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为 D．直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
【答案】D
【解析】函数f(x)＝sin2x＋2sin x cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2＝2sin ，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T＝＝π，故A，C错误．令f(x)＝0，∴2x－＝kπ(k∈Z)，∴x＝π＋(k∈Z)，当x∈(0，π)时，有x＝或x＝π，B错误．当x＝时，f＝2，故D正确．
12．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1．连接BC，设∠PAB＝α，则四边形ABCP的面积等于时，α等于__________．
【答案】
【解析】如图，连接PB．∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°．又AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α．∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α．又PC＝1，∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC＝PA·PB＋PB·PC·sin α＝cos αsin α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin ＋．由已知，得sin ＋＝，∴sin ＝．又α∈，∴2α－∈，∴2α－＝，解得α＝．
13．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos (x－α)cos α－sin (x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2[f(x)]2在区间上的取值范围．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－．
(2)∵f(x)＝cos (x－α)cos α－sin (x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝cos －2cos2x＝sin2x－1－cos 2x＝2sin －1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin ≤1，
∴－2≤2sin －1≤1，
故函数g(x)＝f－2[f(x)]2在区间上的取值范围是[－2，1]．
C级——创新拓展练
14．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OA＝1，矩形CDEF内接于扇形OAB，G为的中点，设∠COG＝x，矩形CDEF的面积为S．
(1)若x＝，求S；
(2)求S的最大值．
解：(1)如图，设OG与CF，DE分别交于M，N两点．
由已知得CM＝ND＝OC sin x＝sin x，CF＝2CM＝2sin x．
OM＝OC cos x＝cos x，
ON＝＝sin x，
所以CD＝MN＝cos x－sin x．
故S＝2sin x
＝2sin x cos x－sin2x
＝sin2x＋cos 2x－
＝sin －．
当x＝时，S＝1－．
(2)因为0＜x＜，所以＜2x＋＜，
当且仅当2x＋＝，即x＝时，S取得最大值．
