第五章 5.6 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的图象中相邻两个最值点之间的距离为5，则要得到函数y＝f(x)的图象，只需将函数y＝2sin ωx的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin ＋2
C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2
4．已知关于x的方程2sin ＝m在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．[－2，－1]
C．(1，2) D．[1，2]
5．(2024年湛江期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则φ＝( )
A． B．
C． D．
6．(多选)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象可能是( )
7．函数y＝2sin 图象的对称轴方程是________．
8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________．
9．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年黄冈期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则( )
A．g为偶函数 B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称 D．g(x)在区间上单调递减
12．(2024年大连模拟)如图所示的是函数f(x)＝A sin (2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝__________．
13．(2024年济宁期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f的单调递减区间．
C级——创新拓展练
14．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是__________．第五章 5.6 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由题意，得＝＋＝，所以T＝π．由T＝，得ω＝2．由题图可知A＝1，所以f(x)＝sin (2x＋φ)．又f＝sin ＝0，－＜φ＜，所以φ＝．故选B．
2．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的图象中相邻两个最值点之间的距离为5，则要得到函数y＝f(x)的图象，只需将函数y＝2sin ωx的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为T＝，最大值为2，最小值为－2，所以相邻两个最值点之间的距离为＝＝5，解得ω＝，∴f(x)＝2sin ＝2sin ．故选A．
3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin ＋2
C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2
【答案】D
【解析】由题意可得A＝＝2，m＝＝2，ω＝＝＝4．∵直线x＝是其图象的一条对称轴，∴ω＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋－(k∈Z)．∴当k＝1时，φ＝－＝．∴符合条件的一个解析式为y＝2sin ＋2．
4．已知关于x的方程2sin ＝m在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．[－2，－1]
C．(1，2) D．[1，2]
【答案】A
【解析】设2x＋＝t，则t∈，问题转化为sin t＝，t∈有两个不同的实数根，即y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同的交点，如图，由图象观察知的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)．
5．(2024年湛江期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则φ＝( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝．因为x＝0位于函数f(x)的递减区间，结合五点作图法可知φ＝2kπ＋，k∈Z．又0＜φ＜π，所以φ＝．故选D．
6．(多选)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象可能是( )
【答案】ABC
【解析】当a＝0时，f(x)＝1，即图象C；当0＜a＜1时，三角函数的最大值为1＋a＜2，且最小正周期为T＝＞2π，即图象A；当a＞1时，三角函数的最大值为a＋1＞2，且最小正周期为T＝＜2π，即图象B．
7．函数y＝2sin 图象的对称轴方程是________．
【答案】x＝＋(k∈Z)
【解析】令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________．
【答案】
【解析】由题意设函数周期为T，则＝－＝，所以T＝．所以ω＝＝．
9．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
【答案】－
【解析】由题意得A＝，T＝4＝，ω＝．因为f(x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z．由0＜φ＜π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos ，所以f(1)＝－．
10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
解：(1)由题图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝．
所以f(x)＝2sin ．
将点(－1，0)代入，得2sin ＝0．
因为|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin ．
(2)因为－1≤x≤2，则0≤x＋≤，
所以0≤sin ≤1，0≤2sin ≤2．
所以f(x)的值域为[0，2]．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年黄冈期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则( )
A．g为偶函数 B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称 D．g(x)在区间上单调递减
【答案】BC
【解析】由图知A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，即sin φ＝－．因为－π＜φ＜－，所以φ＝－．因为x＝为f(x)的零点，则－＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋(k∈Z)．由图知＜T＝＜2π，则1＜ω＜，所以k＝1，ω＝，从而f(x)＝2sin ．由题设，g(x)＝2sin ＝2sin ，则g＝2sin ＝2sin 为非奇非偶函数，A错误；g(x)的最小正周期T＝＝π，B正确；当x＝时， 2x－＝，则g(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；当x∈时， 2x－∈，则g(x)的图象不单调，D错误．
12．(2024年大连模拟)如图所示的是函数f(x)＝A sin (2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝__________．
【答案】
【解析】由三角函数的最大值可知A＝2，不妨设＝m，则x1＋x2＝2m．由三角函数的性质可知2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则f(x1＋x2)＝2sin [2(x1＋x2)＋φ]＝2sin (2×2m＋φ)＝2sin [2×(2m＋φ)－φ]＝2sin ＝2sin (4kπ＋π－φ)＝2sin φ＝，则sin φ＝，结合|φ|≤，得φ＝．
13．(2024年济宁期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f的单调递减区间．
解：(1)因为函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为π，可知T＝π．由ω＞0，得ω＝＝2．
又因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象过点，则sin φ＝．由0＜φ＜，得φ＝，所以f(x)＝sin ．
(2)由(1)可知y＝f＝sin ＝sin 2x．
由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝f的单调递减区间为
(k∈Z)．
C级——创新拓展练
14．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是__________．
【答案】
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0．又0≤φ＜π，所以φ＝0．因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，所以 ，于是解得0＜ω≤，所以ω的最大值为．
