第五章 5.7
A级——基础过关练
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． B．－
C．8x－ D．8x
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(多选)(2024年南通期末)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10(单位：cm)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h cm由关系式h＝A sin 确定，其中A＞0，t≥0，则( )
A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2 s
B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm
C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s
D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是
6．(2024年咸阳期末)如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝3cos ，t∈[0，＋∞)，取g＝10 m/s2，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s，则线长约为(精确到0.1 cm)( )
A．12.7 cm B．25.3 cm
C．101.3 cm D．50.7 cm
7．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是__________，__________．
8．简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为__________．
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行__________次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
B级——综合运用练
11．(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则( )
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
12．如图所示的是一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2(ω＞0，A＞0)，则有A＝__________，ω＝________．
13．(2024年海口琼山区期末)深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米．
(1)已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
C级——创新拓展练
14．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
类型 高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲( )
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝第五章 5.7
A级——基础过关练
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
【答案】C
【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－．
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】D
【解析】由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C．
3．简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． B．－
C．8x－ D．8x
【答案】B
【解析】当x＝0时，8×0－＝－，则这个简谐运动的初相为－．故选B．
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】由y＝－sin 的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7．故选C．
5．(多选)(2024年南通期末)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10(单位：cm)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h cm由关系式h＝A sin 确定，其中A＞0，t≥0，则( )
A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2 s
B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm
C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s
D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是
【答案】BD
【解析】T＝＝2，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时1 s，小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为周期2 s，A，C错误；因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为4×5＝20 cm，B正确；当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点和最低点，因为小球在t s内经过最高点和最低点的次数均为10次，所以＋10T≤t＜＋10T，因为T＝2，所以20≤t＜21，所以t的取值范围为．故选BD．
6．(2024年咸阳期末)如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝3cos ，t∈[0，＋∞)，取g＝10 m/s2，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s，则线长约为(精确到0.1 cm)( )
A．12.7 cm B．25.3 cm
C．101.3 cm D．50.7 cm
【答案】B
【解析】由题意T＝1，由T＝，有1＝，即＝(2π)2，故l＝，解得l≈25.3 cm．故选B．
7．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是__________，__________．
【答案】5x－ －
8．简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为__________．
【答案】
【解析】频率为＝＝．
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行__________次．
【答案】25
【解析】∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5 s往复运行25次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝＝．b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
所以y＝10sin ＋40．
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为|φ|＜，所以φ＝．
所以所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14]．
B级——综合运用练
11．(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则( )
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
【答案】BCD
【解析】角速度ω＝＝(弧度/秒)，由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，B正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由解得又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－，所以点P距离水面的高度H＝2sin ＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，C正确；将H＝1＋代入H＝2sin ＋1中，得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋(k∈N)，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)，所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，D正确．
12．如图所示的是一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2(ω＞0，A＞0)，则有A＝__________，ω＝________．
【答案】3
【解析】由题图可知A＝3，由水轮每分钟转4圈，可知转一圈要15秒，所以T＝＝15，解得ω＝．
13．(2024年海口琼山区期末)深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米．
(1)已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
解：(1)因为T＝30，所以ω＝＝．
由解得B＝65，A＝55，
当t＝0时，H(0)＝55sin φ＋65＝10，所以sin φ＝－1．
又因为|φ|≤，所以φ＝－．
所以H(t)＝55sin ＋65，t∈[0，30]．
(2)令H(t)≥92.5，得55sin ＋65≥92.5，即－cos t≥，
所以cos t≤－，解得≤t≤，即10≤t≤20．
由20－10＝10，所以游客能有10分钟时间有最佳视觉效果．
C级——创新拓展练
14．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
类型 高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲( )
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
【答案】D
【解析】由图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝33．从同学甲出生到今日的天数为5 860，故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．故选D．
