第二章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年广安期末)已知a＞b，则下列关系中正确的是( )
A．a－c＞b－c B．ac＞bc
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B或A＞B D．A＞B
3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )
A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．已知y＝3x2＋，则y的取值范围为( )
A．{y|y≤－4或y≥4} B．{y|y≤－2或y≥2}
C．{y|y＞0} D．{y|y≥}
5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则的最小值为( )
A．2 B．2＋
6．(2024年河北期末)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≤1或x＞2} B．{x|x＜0或1＜x＜2}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}
7．(2024年阳江期末)已知1≤a－b≤2，3≤a＋b≤4，则ab的最大值为( )
A． B．
C．3 D．4
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋的最大值是( )
A． B．－
C． D．－
9．(2024年广东期末)2x2－5x－3＜0的必要不充分条件可以是( )
A．－＜x＜3 B．－1＜x＜4
C．0＜x＜2 D．－2＜x＜3
10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的有( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
11．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的有( )
A．ab有最大值 B．＋有最小值1
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是 Ｗ．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表所示，
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 Ｗ．
14．(2023年重庆期末)已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为 ；＋的最小值为 Ｗ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)设a＞0，b＞0，比较＋与＋的大小．
16．(15分)(2024年阳江期末)已知不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(x－c)(ax－2)＞0(c为常数，且c≠2)．
17．(15分)(2024年深圳南山区期中)已知x＞0，y＞0，且＋＝1．
(1)求x＋y的最小值；
(2)若xy＞m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．
18．(17分)(2024年湛江期末)已知集合A＝{x|(x－2)(x＋3)≤0}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}，定义两个集合P，Q的差运算：P－Q＝{x|x∈P，且x Q}．
(1)当a＝1时，求A－B与B－A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
19．(17分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．第二章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年广安期末)已知a＞b，则下列关系中正确的是( )
A．a－c＞b－c B．ac＞bc
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
【答案】A
【解析】若a＞b，由不等式性质可得，a－c＞b－c，A正确；当c＝0时，B显然错误；当a＝2，b＝－2时，C，D显然错误．故选A．
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B或A＞B D．A＞B
【答案】B
【解析】因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，所以A≥B．
3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )
A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】A
【解析】方法一．取x＝－2，知符合x＜＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D．
方法二．由题知，不等式等价于解得x＜－1．故选A．
4．已知y＝3x2＋，则y的取值范围为( )
A．{y|y≤－4或y≥4} B．{y|y≤－2或y≥2}
C．{y|y＞0} D．{y|y≥}
【答案】D
【解析】因为x2＞0，所以3x2＋≥2＝，所以y的取值范围为{y|y≥}．故选D．
5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则的最小值为( )
A．2 B．2＋
C．1＋ D．2＋2
【答案】C
【解析】＝＋＝×(a＋b)×＝×≥×2＋1＝＋1，当且仅当＝，且a＋b＝3，即a＝3－3，b＝6－3时，取等号，所以的最小值为1＋．故选C．
6．(2024年河北期末)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≤1或x＞2} B．{x|x＜0或1＜x＜2}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}
【答案】A
【解析】集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，由韦恩图可知，图中的阴影部分表示的集合为 U(A∩B)∩(A∪B)，∵A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝R，∴ U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|x≤1或x＞2}∩R＝{x|x≤1或x＞2}．故选A．
7．(2024年阳江期末)已知1≤a－b≤2，3≤a＋b≤4，则ab的最大值为( )
A． B．
C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为1≤a－b≤2，3≤a＋b≤4，所以1≤(a－b)2≤4，9≤(a＋b)2≤16，所以－4≤－(a－b)2≤－1，所以5≤(a＋b)2－(a－b)2≤15，即5≤4ab≤15，所以≤ab≤，则ab的最大值为．故选A．
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋的最大值是( )
A． B．－
C． D．－
【答案】D
【解析】由题意可知x1，x2为方程x2－4ax＋3a2＝0(a＜0)的两根，所以x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1＋x2＋＝4a＋．因为a＜0，所以－≥2＝，即4a＋≤－，当且仅当a＝－时，取等号，故x1＋x2＋的最大值为－．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年广东期末)2x2－5x－3＜0的必要不充分条件可以是( )
A．－＜x＜3 B．－1＜x＜4
C．0＜x＜2 D．－2＜x＜3
【答案】BD
【解析】2x2－5x－3＜0 (2x＋1)(x－3)＜0 －＜x＜3，即2x2－5x－3＜0的充要条件是－＜x＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现是{x|－2＜x＜3}，{x|－1＜x＜4}的真子集．故选BD．
10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的有( )
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
【答案】ACD
【解析】设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故D成立．故选ACD．
11．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的有( )
A．ab有最大值 B．＋有最小值1
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
【答案】AC
【解析】1＝a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以ab有最大值，所以A正确；＋≥2，2≤，所以＋的最小值不是1，所以B错误；＋＝＝≥4，所以＋有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是 Ｗ．
【答案】＞
【解析】－＝＞0，所以＞．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表所示，
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 Ｗ．
【答案】{x|x＜－2或x＞3}
【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图如图所示．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞3}．
14．(2023年重庆期末)已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为 ；＋的最小值为 Ｗ．
【答案】4
【解析】∵a＞0，b＞0，16＝2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2，∴a＋2b≤4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立，∴a＋2b的最大值为4．
∵(a＋2＋2b)＝＋＋5≥2＋5＝9，∴＋≥≥＝，当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立，∴＋的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)设a＞0，b＞0，比较＋与＋的大小．
解：因为a＞0，b＞0，所以＋＝＋．
根据均值不等式可得＋≥2，①
＋≥2，②
当且仅当a＝b时，取等号．
由①＋②，得＋＋＋≥2(＋)，
即＋≥＋．
16．(15分)(2024年阳江期末)已知不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(x－c)(ax－2)＞0(c为常数，且c≠2)．
解：(1)因为不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为{x|1≤x≤2}，所以1和2是方程x2－(a＋2)x＋b＝0的两根．
由根与系数的关系知解得a＝1，b＝2．
(2)不等式(x－c)(ax－2)＞0即为(x－c)(x－2)＞0，
由c≠2，则当c＜2时，解不等式得x＜c或x＞2；
c＞2时，解不等式得x＜2或x＞c．
综上，当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c或x＞2}；
当c＞2时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞c}．
17．(15分)(2024年深圳南山区期中)已知x＞0，y＞0，且＋＝1．
(1)求x＋y的最小值；
(2)若xy＞m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取等号，
所以x＋y的最小值为9．
(2)因为x＞0，y＞0，
所以1＝＋≥2＝，
所以xy≥16．因为xy＞m2＋6m恒成立，
所以16＞m2＋6m，解得{m|－8＜m＜2}．
18．(17分)(2024年湛江期末)已知集合A＝{x|(x－2)(x＋3)≤0}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}，定义两个集合P，Q的差运算：P－Q＝{x|x∈P，且x Q}．
(1)当a＝1时，求A－B与B－A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意可知，A＝{x|(x－2)(x＋3)≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，
所以A－B＝{x|－3≤x≤0或x＝2}，B－A＝ ；
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A．
又因为A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}，
所以解得－2≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|－2≤a≤1}．
19．(17分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
解：(1)设甲工程队的总造价为y元，
则y＝3＋7 200＝900＋7 200(2≤x≤6)，
900＋7 200≥900×2＋7 200＝14 400，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
∴当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元．
(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900＋7 200＞恒成立，即＞，
∴a＜＝(x＋1)＋＋6．
又∵x＋1＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
∴a的取值范围为{a|0＜a＜12}．
