第三章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
(本栏目对应学生用书P321)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A． B．
C． D．∪
2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
3．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[－2，2]
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
5．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为( )
A． B．1
C． D．2
6．(2024年榆林一模)已知y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝( )
A．－14 B．14
C．－7 D．7
7．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则整数m＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
8．(2024年惠州期中)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f(25)＜f(－1)＜f(80) B．f(25)＜f(80)＜f(－1)
C．f(－1)＜f(25)＜f(80) D．f(－1)＜f(80)＜f(25)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有( )
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D．＞0
10．(2024年金沙期末)已知幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，若y＝x2＋(a＋b)x－3在(－1，1)上不单调，则实数b的可能取值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
11．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的有( )
A．f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) B．f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a) D．f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知f(－1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为____________________．
13．(2024年湖南开学考试)某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为________万元．
14．定义在(－8，a)上的奇函数f(x)在区间[2，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为a，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)若函数f(x)＝＋．
(1)求f(－3)，f(a2＋1)；
(2)求函数f(x)的定义域．
16．(15分)已知函数f(x)＝＋1，x∈R．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)求f(x)＋f的值；
(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f．
17．(15分)某粮油超市每月按出厂价30元/袋购进一种大米，根据以往的统计数据，若零售价定为42元/袋，每月可销售320袋．现为了促销，经调查，若零售价每降低1元，则每月可多销售40袋．为使超市获得最大利润，在每月的进货都销售完的前提下，求零售价及每月购进大米的数量，并求出最大利润．
18．(17分)(2024年汕头潮阳区期中)已知函数f(x)＝，x∈(－2，2)，满足条件f(0)＝0，且f＝．
(1)求a，b的值；
(2)用单调性定义证明：函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增；
(3)若f(a＋1)－f(2a－1)＞0，求实数a的取值范围．
19．(17分)已知幂函数f(x)＝x－p2＋p＋(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf[f(x)]＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．第三章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
(本栏目对应学生用书P321)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A． B．
C． D．∪
【答案】D
【解析】由题意得，解得x＜1且x≠．
2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】由题意画出函数图象(图略)或根据定义知函数为奇函数．
3．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[－2，2]
【答案】D
【解析】依题意，可得或或解得－2≤a≤2．
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】由题意可得－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加，得2g(1)＝6，所以g(1)＝3．
5．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为( )
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，S＝(4＋x)·＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．
6．(2024年榆林一模)已知y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝( )
A．－14 B．14
C．－7 D．7
【答案】C
【解析】令g(x)＝f(x＋1)＋1，则y＝g(x)为R上奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即f(－x＋1)＋1＝－f(x＋1)－1，所以f(x＋1)＋f(－x＋1)＝－2，令x＝3，则有f(4)＋f(－2)＝－2，令x＝2，则有f(3)＋f(－1)＝－2，令x＝1，则有f(2)＋f(0)＝－2，令x＝0，则有2f(1)＝－2，所以f(1)＝－1，所以f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2×3－1＝－7．故选C．
7．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则整数m＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意可得幂函数f(x)＝xm2－4m为偶函数，结合选项可知m2－4m为偶数．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4，故m＝2．
8．(2024年惠州期中)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f(25)＜f(－1)＜f(80) B．f(25)＜f(80)＜f(－1)
C．f(－1)＜f(25)＜f(80) D．f(－1)＜f(80)＜f(25)
【答案】D
【解析】∵f(x＋8)＝f(x)，∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，同理可得，f(80)＝f(0)，又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，∴f(x)在区间[－2，2]上单调递增，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－1)＜f(80)＜f(25)．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有( )
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D．＞0
【答案】ABD
【解析】因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)．故选ABD．
10．(2024年金沙期末)已知幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，若y＝x2＋(a＋b)x－3在(－1，1)上不单调，则实数b的可能取值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
【答案】BC
【解析】∵幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，
∴解得a＝－1．∵y＝x2＋(a＋b)·x－3在(－1，1)上不单调，即y＝x2＋(b－1)x－3在(－1，1)上不单调，∴－1＜－＜1，解得－1＜b＜3，观察四个选项，实数b的可能取值为0，1．故选BC．
11．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的有( )
A．f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) B．f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a) D．f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)
【答案】AC
【解析】由g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合得，当a＞b＞0时，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．又由f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．[f(b)－f(－a)]－[g(a)－g(－b)]＝f(b)－f(－a)－g(a)＋g(－b)＝f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝f(b)＋f(a)－f(a)＋f(b)＝2f(b)＜2f(0)＝0，即f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)，A正确，B错误；[f(a)＋f(－b)]－[g(b)－g(－a)]＝f(a)＋f(－b)－g(b)＋g(－a)＝f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝f(a)－f(b)－f(b)＋f(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，即f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)，C正确，D错误．故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知f(－1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为____________________．
【答案】f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)
【解析】令t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3．故所求解析式为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
13．(2024年湖南开学考试)某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为________万元．
【答案】34
【解析】设销售甲种产品x吨，则销售乙种产品10－x吨，由题意可得利润y＝5x－x2＋3(10－x)＝－x2＋2x＋30＝－(x－4)2＋34，∴当x＝4时，获得最大利润y＝34万元．
14．定义在(－8，a)上的奇函数f(x)在区间[2，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为a，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝__________．
【答案】－15
【解析】根据题意，f(x)是定义在(－8，a)上的奇函数，则a＝8．又由f(x)在区间[2，7]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为a＝8，最小值为－1，则f(6)＝a＝8，f(3)＝－1．函数是奇函数，则f(－6)＝－8，f(－3)＝1．则2f(－6)＋f(－3)＝2×(－8)＋1＝－15．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)若函数f(x)＝＋．
(1)求f(－3)，f(a2＋1)；
(2)求函数f(x)的定义域．
解：(1)∵f(x)＝＋，∴f(－3)＝＋＝－1，f(a2＋1)＝＋．
(2)对于函数f(x)＝＋，
则有解得x≥－3且x≠－2．
因此，函数f(x)＝＋的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
16．(15分)已知函数f(x)＝＋1，x∈R．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)求f(x)＋f的值；
(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f．
解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．
f(x)的定义域为R，关于y轴对称．
因为f(－x)＝＋1＝＋1＝f(x)，
所以f(x)＝＋1是偶函数．
(2)因为f(x)＝＋1，
所以f＝＋1＝＋1，
所以f(x)＋f＝3．
(3)由(2)可知f(x)＋f＝3，又因为f(1)＝，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f＝f(1)＋＋＋＝＋3×3＝．
17．(15分)某粮油超市每月按出厂价30元/袋购进一种大米，根据以往的统计数据，若零售价定为42元/袋，每月可销售320袋．现为了促销，经调查，若零售价每降低1元，则每月可多销售40袋．为使超市获得最大利润，在每月的进货都销售完的前提下，求零售价及每月购进大米的数量，并求出最大利润．
解：设零售价定为x元/袋，利润为y元，则购进大米的袋数为320＋40(42－x)，
故y＝(x－30)[320＋40(42－x)]＝40(－x2＋80x－1 500)＝－40(x－40)2＋4 000．
当x＝40时，y取最大值4 000元，此时购进大米袋数为400袋．
综上所述，零售价定为40元/袋，每月购进大米400袋，可获得最大利润4 000元．
18．(17分)(2024年汕头潮阳区期中)已知函数f(x)＝，x∈(－2，2)，满足条件f(0)＝0，且f＝．
(1)求a，b的值；
(2)用单调性定义证明：函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增；
(3)若f(a＋1)－f(2a－1)＞0，求实数a的取值范围．
(1)解：因为f(x)＝，f(0)＝0，f＝，
所以解得
所以a＝1，b＝0．
(2)证明：由(1)得f(x)＝，
x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝＝(x2－x1)，
由于－2＜x1＜x2＜2，所以x2－x1＞0，x1x2－4＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
(3)解：由f(a＋1)－f(2a－1)＞0，
得f(a＋1)＞f(2a－1)．
又因为函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增，
所以解得
故－＜a＜1，
所以实数a的取值范围是．
19．(17分)已知幂函数f(x)＝x－p2＋p＋(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf[f(x)]＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋＞0，
解得－1＜p＜3．
因为p∈N，所以p＝2，1，0．
当p＝0或p＝2时，f(x)＝x，不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f(x)＝x2．
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2(t≥0)，
则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．
因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，
所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；
当x∈(－4，0)时，t∈(0，16)．
当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，
此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，
所以q＝－．故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数且在(－4，0)上是增函数．
