第四章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年湖北期末)下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是( )
2．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
3．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－4，8]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[2，8] B．[－4，2]
C．[－4，5] D．[－1，2]
4．(2024年攀枝花月考)已知奇函数f(x)＝ax＋b·a－x(a＞0，a≠1)在[－1，1]上的最大值为，则a＝( )
A．或3 B．或2
C．3 D．2
5．(2024年宝鸡期末)已知a＝log35，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．b＞a＞c D．a＞b＞c
6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(log4)＝－3，则a的值为( )
A． B．3
C．9 D．
7．(2024年四川期末)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知lg 5＝0.699，则231是( )
A．9位数 B．10位数
C．11位数 D．12位数
8．(2023年武进区校级开学)在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 3，计算结果取整数)( )
A．2 172 B．4 343
C．869 D．8 686
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年洛阳月考)若logab＜0，则函数f(x)＝ax＋b的大致图象是( )
10．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，那么下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在(1，2)或[2，3)内有零点
B．函数f(x)在(3，5)内无零点
C．函数f(x)在[2，5)内有零点
D．函数f(x)在[2，4)内不一定有零点
11．(2024年铜仁期末)已知函数f(x)＝设f(x)＝k的实数解个数为t，则( )
A．当t＝1时，k∈(－∞，－4] B．当t＝2时，k∈(－3，＋∞)
C．当t＝3时，k∈(－4，－3] D．函数f(x)的值域为R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年蚌埠期末)计算：(log32＋log34)×(log1615－log165)＝__________．
13．(2024年永春月考)已知函数f(x)＝则f(0)－f(－3)＝__________．
14．设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其图象经过点，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称．若f(2m)＝4，f(n)＝25，则2m＋n＝__________；若g(x)在区间[，c]上的值域为[m，n]，且n－m＝，则c＝__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年安顺期末)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)，且f(2)＝loga3．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性；
(3)求关于x的不等式f(x－2)＜f(4)的解集．
16．(15分)(2024年莆田城厢区期末)每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(结果保留到整数位．参考数据：lg 5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位；
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍．
17．(15分)(2024年秦皇岛期末)已知函数f(x)＝ex＋是定义在R上的奇函数，其中a是常数．
(1)求常数a的值；
(2)设关于x的函数F(x)＝f(4x＋3b)＋f(－2x+2＋b2)有两个不同的零点，求实数b的取值范围；
(3)求函数g(x)＝e2x＋e－2x－2λf(x)在[0，＋∞)上的值域．
18．(17分)(2024年重庆月考)国内某大型机械加工企业在过去的一个月内(共计30天，包括第30天)，其主营产品在第x天的指导价为每件P(x)(元)，且满足P(x)＝(x∈N)，第x天的日交易量Q(x)(万件)的部分数据如下表：
第x天 1 2 5 10
Q(x)/万件 14.01 12 10.8 10.38
(1)给出以下两种函数模型：①Q(x)＝a＋2x＋b，②Q(x)＝a＋，其中a，b为常数．请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量Q(x)(万件)的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出Q(x)的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月(共计30天，包括第30天)的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第x天的日交易额f(x)的函数关系式，并确定f(x)取得最小值时对应的x．
19．(17分)已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋bx(a＞0，且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
(1)求b的值；
(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，求a的取值范围．第四章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年湖北期末)下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是( )
【答案】C
【解析】根据零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点，根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)＜0，∴C选项不能用二分法求图中的函数零点．故选C．
2．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
【答案】B
【解析】因为3x＋1＞1，所以0＜＜1，所以函数的值域为(0，1)．
3．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－4，8]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[2，8] B．[－4，2]
C．[－4，5] D．[－1，2]
【答案】D
【解析】∵第一次所取的区间是[－4，8]，∴第二次所取的区间可能为[－4，2]，[2，8]，∴第三次所取的区间可能为[－4，－1]，[－1，2]，[2，5]，[5，8]．
4．(2024年攀枝花月考)已知奇函数f(x)＝ax＋b·a－x(a＞0，a≠1)在[－1，1]上的最大值为，则a＝( )
A．或3 B．或2
C．3 D．2
【答案】A
【解析】由奇函数的性质可知，f(0)＝0，∴1＋b＝0，∴b＝－1，经检验，b＝－1符合题意，∴f(x)＝ax－a－x，当a＞1时，f(x)＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝a－a－1＝，解得a＝3或－(舍去)，当0＜a＜1时，f(x)＝ax－a－x在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝a－1－a＝，解得a＝或－3(舍去)，综上所述，a＝3或．故选A．
5．(2024年宝鸡期末)已知a＝log35，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【答案】D
【解析】∵log35＞log33＝1，∴a＞1，∵0＜＜＝1，∴0＜b＜1，
∵log2＜log21＝0，∴c＜0，∴a＞b＞c．故选D．
6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(log4)＝－3，则a的值为( )
A． B．3
C．9 D．
【答案】A
【解析】因为奇函数f(x)满足f(log4)＝－3，又因为log4＝－2＜0，所以f(2)＝－f(－2)＝3．又因为当x＞0时，f(x)＝ax，所以f(2)＝a2＝3，解得a＝(负值已舍去)．故选A．
7．(2024年四川期末)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知lg 5＝0.699，则231是( )
A．9位数 B．10位数
C．11位数 D．12位数
【答案】B
【解析】记231＝M，则31×lg 2＝lg M，则lg M＝31×(1－lg 5)＝9.331，则M＝109.331∈(109，1010)，故231是10位数．故选B．
8．(2023年武进区校级开学)在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 3，计算结果取整数)( )
A．2 172 B．4 343
C．869 D．8 686
【答案】D
【解析】由题意可知：π(105)≈＝＝＝2×104×lg e≈2×104×0.434 3＝8 686．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年洛阳月考)若logab＜0，则函数f(x)＝ax＋b的大致图象是( )
【答案】BC
【解析】由logab＜0＝loga1，可得，当0＜a＜1时，因为y＝logax在定义域内单调递减，所以b＞1，此时f(x)＝ax＋b＞1，且f(x)在定义域内单调递减，选项B成立，D错误；当a＞1时，因为y＝logax在定义域内单调递增，所以0＜b＜1，此时f(x)＝ax＋b＞b，不能保证f(x)＞1，且f(x)在定义域内单调递增，选项A错误，C成立．故选BC．
10．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，那么下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在(1，2)或[2，3)内有零点
B．函数f(x)在(3，5)内无零点
C．函数f(x)在[2，5)内有零点
D．函数f(x)在[2，4)内不一定有零点
【答案】ABD
【解析】f(x)有唯一零点，该零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，所以该零点在(1，3)内，于是可以在(1，2)内，也可能在[2，3)内，但不会在(3，5)内，A与B都正确．由于零点可能在[2，3)内，但不一定在[2，4)内，所以C错误，D正确．故选ABD．
11．(2024年铜仁期末)已知函数f(x)＝设f(x)＝k的实数解个数为t，则( )
A．当t＝1时，k∈(－∞，－4] B．当t＝2时，k∈(－3，＋∞)
C．当t＝3时，k∈(－4，－3] D．函数f(x)的值域为R
【答案】CD
【解析】利用二次函数和对数函数的图象和性质，作出f(x)的函数图象，如图所示，f(－1)＝－4，f(0)＝－3，由函数图象可知，当t＝1时，k∈(－∞，－4)，A选项错误；当t＝2时，k∈(－3，＋∞)∪{－4}，B选项错误；当t＝3时，k∈(－4，－3]，C选项正确；函数f(x)的值域为R，D选项正确．故选CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年蚌埠期末)计算：(log32＋log34)×(log1615－log165)＝__________．
【答案】
【解析】(log32＋log34)×(log1615－log165)＝(log32＋2log32)×(log215－log25)＝×3log32×log23＝．
13．(2024年永春月考)已知函数f(x)＝则f(0)－f(－3)＝__________．
【答案】－1
【解析】函数f(x)＝则f(0)－f(－3)＝20－log24＝1－2＝－1．
14．设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其图象经过点，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称．若f(2m)＝4，f(n)＝25，则2m＋n＝__________；若g(x)在区间[，c]上的值域为[m，n]，且n－m＝，则c＝__________．
【答案】2 100
【解析】因为f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点，所以＝a，解得a＝10，所以f(x)＝10x．因为f(2m)＝4，f(n)＝25，所以102m＝4，10n＝25，所以102m·10n＝100，即102m＋n＝102，所以2m＋n＝2．因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝lg x(x＞0)，且为增函数，所以g(x)在[，c]上的值域为[lg ，lg c]＝[m，n]，因为n－m＝，所以lg c－lg ＝，解得c＝100．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年安顺期末)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)，且f(2)＝loga3．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性；
(3)求关于x的不等式f(x－2)＜f(4)的解集．
解：(1)由f(2)＝loga3可得loga(a2－1)＝loga3，因为a＞0，解得a＝2．
故f(x)＝log2(2x－1)．令2x－1＞0，解得x＞0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(2x1－1)－log2(2x2－1)＝log2．
因为x1＞x2＞0，所以2x1＞2x2＞1，
从而2x1－1＞2x2－1＞0，
因此＞1，于是log2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，若f(x－2)＜f(4)，则0＜x－2＜4，
解得2＜x＜6．故不等式f(x－2)＜f(4)的解集为(2，6)．
16．(15分)(2024年莆田城厢区期末)每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(结果保留到整数位．参考数据：lg 5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位；
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍．
解：(1)将x0＝5，v＝0代入函数v＝log3－lg x0，得log3－lg 5＝0，
因为lg 5≈0.70，所以log3＝2lg 5≈1.40，所以≈4.66，所以x＝466．
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：两式相减可得＝log3，所以＝3．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
17．(15分)(2024年秦皇岛期末)已知函数f(x)＝ex＋是定义在R上的奇函数，其中a是常数．
(1)求常数a的值；
(2)设关于x的函数F(x)＝f(4x＋3b)＋f(－2x+2＋b2)有两个不同的零点，求实数b的取值范围；
(3)求函数g(x)＝e2x＋e－2x－2λf(x)在[0，＋∞)上的值域．
解：(1)已知函数f(x)＝ex＋是定义在R上的奇函数，
f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，
f(x)＝ex－，f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)．
符合题意，故a＝－1．
(2)由F(x)＝f(4x＋3b)＋f(－2x+2＋b2)＝0，
因为f(x)是奇函数，所以有f(4x＋3b)＝f(2x+2－b2)，
又因为f′(x)＝ex＋e－x＞0，故f(x)在R上单调递增，
由f(4x＋3b)＝f(2x+2－b2)，得4x＋3b＝2x+2－b2，
即b2＋3b＝－4x＋2x+2，
令t＝2x＞0，得方程b2＋3b＝－t2＋4t有两解，
有0＜b2＋3b＜4，所以b∈(0，1)∪(－4，－3)．
(3)g(x)＝e2x＋e－2x－2λf(x)＝e2x＋e－2x－2λ，x∈[0，＋∞)，
令ex－＝m≥0，则g(x)＝m2－2λm＋2＝(m－λ)2－λ2＋2，
当λ≥0，m＝λ时，g(x)有最小值－λ2＋2，g(x)的值域是[－λ2＋2，＋∞)，
当λ＜0，m＝0时，g(x)有最小值2，g(x)的值域是[2，＋∞)．
18．(17分)(2024年重庆月考)国内某大型机械加工企业在过去的一个月内(共计30天，包括第30天)，其主营产品在第x天的指导价为每件P(x)(元)，且满足P(x)＝(x∈N)，第x天的日交易量Q(x)(万件)的部分数据如下表：
第x天 1 2 5 10
Q(x)/万件 14.01 12 10.8 10.38
(1)给出以下两种函数模型：①Q(x)＝a＋2x＋b，②Q(x)＝a＋，其中a，b为常数．请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量Q(x)(万件)的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出Q(x)的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月(共计30天，包括第30天)的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第x天的日交易额f(x)的函数关系式，并确定f(x)取得最小值时对应的x．
解：(1)由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，
又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，
观察表格中的4组数据(1，14.01)，(2，12)，(5，10.8)，(10，10.38)，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即解得a＝10，b＝4，
可以检验Q(1)＝14，Q(10)＝10.4相对合理，
从而Q(x)＝10＋．
(2)由(1)可得f(x)＝P(x)·Q(x)＝
当1≤x≤20时，由基本不等式得f(x)＝10＋404≥20＋404＝484，
当且仅当x＝4时取到最小值，
当20＜x≤30时，f(x)＝796－10x＋，
由单调性的性质可得f(x)在(20，30]上单调递减，
故在x＝30时，f(x)有最小值，最小值为万元，
又484＜，综上所述，当x＝4时f(x)取得最小值．
19．(17分)已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋bx(a＞0，且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
(1)求b的值；
(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，求a的取值范围．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴loga(a－x＋1)－loga(ax＋1)＝2bx．
∴2bx＝－x．∴b＝－．
(2)若函数h(x)＝f(x)－x－a有零点，
则loga(ax＋1)－x＝a，则loga＝a有解．
令p(x)＝loga，则函数y＝p(x)的图象与直线y＝a有交点．
当0＜a＜1时，∵1＋＞1，∴p(x)＝loga＜0，
故loga＝a无解；
当a＞1时，∵1＋＞1，∴p(x)＝loga＞0，
由loga＝a有解可知a＞0，故a＞1．
故a的取值范围是(1，＋∞)．
