第五章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年百色期末)设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为( )
A．12 B．16
C．18 D．24
【答案】D
【解析】设扇形的半径为r，则弧长为l＝3r．因为扇形的周长为20，所以2r＋3r＝20，解得r＝4，则l＝12，故扇形的面积为lr＝×12×4＝24．故选D．
2．已知点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由sin α＞0，tan α＜0，所以角α的终边在第二象限．
3．函数y＝的最小正周期是( )
A．2π B．π
C． D．
【答案】C
【解析】函数y＝＝＝tan 2x 的最小正周期为．故选C．
4．(2024年南通期末)若角θ的终边经过点P(1，3)，则sin θcos θ＋cos2θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】C
【解析】角θ的终边经过点P(1，3)，则tanθ＝3，故有sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝＝．故选C．
5．(2024年合肥蜀山区模拟)已知＝2，则sin 的值为( )
A．－ B．－
C． D．－
【答案】A
【解析】由＝2，解得tan α＝－3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝－＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－＝－，所以sin＝×＋×＝－．故选A．
6．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
【答案】D
【解析】由f＝f(－x)，得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2．故选D．
7．(2024年保定清苑区开学考试)若sin 18°＝m，则sin 63°＝( )
A．(－m) B．m＋
C．(m＋) D．m＋
【答案】C
【解析】因为sin 18°＝m，所以sin 63°＝sin (18°＋45°)＝(sin 18°＋cos 18°)＝．故选C．
8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )
A．1 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ)．将点P的坐标代入f(x)＝sin (2x＋φ)，得sin ＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|＜，所以φ＝，即f(x)＝sin (x∈R)，所以f＝sin ＝sin ＝．故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列计算正确的有( )
A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1
B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1
C．＝
D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－
【答案】CD
【解析】对于A，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin (22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin (20°＋70°)＝－1，故B错误；对于C，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin (14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD．
10．要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin 的图象C2( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度
D．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度
【答案】ABC
【解析】对于A，将y＝sin 的图象C2向左平移个单位长度，可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象C1，故A正确；对于B，将y＝sin 的图象C2向右平移个单位长度，可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象C1，故B正确；对于C，先作C2关于x轴对称的图象，即y＝－sin 的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度，得到y＝－sin ＝－sin ＝cos 2x的图象C1，故C正确；对于D，先作C2关于x轴对称的图象，即y＝－sin 的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度，得到y＝－sin ＝－sin ＝－cos 2x的图象，故D不正确．
11．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x，x∈R，则( )
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π
D．直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
【答案】CD
【解析】f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2＝2sin ，所以f(x)的最大值为2，最小正周期为T＝＝π，故A错误，C正确；由f(x)＝0，得2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以f(x)在(0，π)内的零点为，，故B错误；由f＝2sin ＝2，得直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan (3π＋2θ)＝__________．
【答案】
【解析】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan (3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝．
13．(2024年天津和平区期末)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为__________℃；若要求实验室温度不高于11 ℃，则在__________时间段实验室需要降温．
【答案】4 10＜t＜18
【解析】因为f(t)＝10－2sin ，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤sin ≤1，当t＝2时，sin ＝1；当t＝14时，sin ＝－1，于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8，故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．依题意，当f(t)＞11时，实验室需要降温，由10－2sin ＞11，即sin ＜－，又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18．
14．将函数f(x)＝2sin x图象的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】将函数f(x)＝2sin x图象的每个点的横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin 2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin 的图象．若函数g(x)在区间，上单调递增，则求得≤a≤，则实数a的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年百色期末)已知cos (2π－α)＝－，且α为第二象限角，
(1)求cos 的值；
(2)求的值．
解：(1)cos (2π－α)＝cos α＝－，
又α为第二象限角，∴sin α＝＝．
∴cos＝－sin α＝－．
(2)原式＝＝＝＝－．
16．(15分)(2024年延边州期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos ．
(1)求函数f(x)单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在的值域．
解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos
＝sin 2x＋cos 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin ，
所以由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)单调递减区间为，k∈Z．
(2)g(x)＝sin ＝sin ，
因为x∈，所以2x－∈，
所以g(x)＝sin ∈，
即g(x)在的值域为．
17．(15分)已知函数f(x)＝sin (π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．
解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx
＝sinωx cos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin ＋．
因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1．
(2)由(1)知f(x)＝sin ＋．
由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin ＋．
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin ≤1，所以1≤g(x)≤．
故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1．
18．(17分)已知函数f(x)＝cos2x＋sincos －(x∈R)．
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若f＝，求sin 2α的值．
解：f(x)＝cos2x＋sincos －
＝＋－
＝
＝
＝
＝sin ．
(1)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin ∈，
则f(x)max＝，f(x)min＝－．
(2)由f＝，得sin ＝，
所以sin ＝．
所以sin 2α＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝．
19．(17分)(2024年株洲天元区开学考试)如图是函数f(x)＝m sin(ωx＋φ)的部分图象，点D是这部分图象的最高点且其横坐标为，点F(0，1)是线段DM的中点．
(1)若A是锐角△ABC的一个内角，且f＝，求cos A的值；
(2)当x∈时，函数y＝f2(x)－af(x)＋1的最小值为，求实数a的值．
解：(1)因为点F(0，1)是线段DM的中点，所以D的纵坐标为2，结合图象可得m＝2．
设M(a，0)，由中点公式可得＝0，解得a＝－，即M．
f(x)的最小正周期为4＝2π，所以ω＝1．
由五点法可知＋φ＝，即φ＝，
所以f(x)＝2sin ．
因为f＝，
所以2sin ＝，
即cos ＝，
因为A是锐角，
所以sin ＝＝，
所以cosA＝cos ＝cos ＋sin ＝×＋×＝．
(2)当x∈时，
x＋∈，sin ∈，
所以f(x)∈[1，2]．
设t＝f(x)，则t∈[1，2]，y＝t2－at＋1．
当≤1，即a≤2时，y＝t2－at＋1的最小值为2－a，所以2－a＝，解得a＝，符合题意；
当1＜＜2，即2＜a＜4时，y＝t2－at＋1的最小值为1－，所以1－＝，解得a＝±，不符合题意；
当≥2，即a≥4时，y＝t2－at＋1的最小值为5－2a，所以5－2a＝，解得a＝，不符合题意．
综上可得实数a的值为．第五章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年百色期末)设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为( )
A．12 B．16
C．18 D．24
2．已知点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函数y＝的最小正周期是( )
A．2π B．π
C． D．
4．(2024年南通期末)若角θ的终边经过点P(1，3)，则sin θcos θ＋cos2θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
5．(2024年合肥蜀山区模拟)已知＝2，则sin 的值为( )
A．－ B．－
C． D．－
6．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
7．(2024年保定清苑区开学考试)若sin 18°＝m，则sin 63°＝( )
A．(－m) B．m＋
C．(m＋) D．m＋
8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )
A．1 B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列计算正确的有( )
A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1
B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1
C．＝
D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－
10．要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin 的图象C2( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度
D．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度
11．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x，x∈R，则( )
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π
D．直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan (3π＋2θ)＝__________．
13．(2024年天津和平区期末)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为__________℃；若要求实验室温度不高于11 ℃，则在__________时间段实验室需要降温．
14．将函数f(x)＝2sin x图象的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年百色期末)已知cos (2π－α)＝－，且α为第二象限角，
(1)求cos 的值；
(2)求的值．
16．(15分)(2024年延边州期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos ．
(1)求函数f(x)单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在的值域．
17．(15分)已知函数f(x)＝sin (π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．
18．(17分)已知函数f(x)＝cos2x＋sincos －(x∈R)．
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若f＝，求sin 2α的值．
19．(17分)(2024年株洲天元区开学考试)如图是函数f(x)＝m sin(ωx＋φ)的部分图象，点D是这部分图象的最高点且其横坐标为，点F(0，1)是线段DM的中点．
(1)若A是锐角△ABC的一个内角，且f＝，求cos A的值；
(2)当x∈时，函数y＝f2(x)－af(x)＋1的最小值为，求实数a的值．
