第一章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年吕梁期末)已知集合A＝{x|x＜2，x∈N}，则( )
A．0≠A B．{0，1} A
C．－1∈A D．{0，1}?A
2．(2024年齐齐哈尔期末)命题“ x＞0，x2＋2x－5≥0”的否定是( )
A． x＞0，x2＋2x－5≥0 B． x＞0，x2＋2x－5＜0
C． x＞0，x2＋2x－5＜0 D． x≤0，x2＋2x－5＜0
3．(2024年湛江期末)若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|1≤x≤9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．“”是“＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2024年晋中期末)已知集合M＝{x∈Z||x－1|＜3}，A＝{－1，0}，B＝{1，2，3，4}，则( )
A．A∪B＝M B．B M
C． MA B D．A∩B≠
7．(2024年黔西南州期末)关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根的充要条件是( )
A．a＞2或a＜－2 B．a≥2或a≤－2
C．a＜1 D．a＞2
8．若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．方程组的解集可表示为( )
A． B．
C．(1，2) D．{(2，1)}
10．下列命题为真命题的有( )
A．p：所有平面四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
11．下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是( )
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜＜
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年广州期末)命题“ x∈R，x2＋x－1＜0”的否定是__________________．
13．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的集合为__________．
14．(2024年台山期中)已知集合M＝{x|－3≤x≤2，x∈R}，N＝{x|x∈N}，那么集合M∩N的真子集的个数为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．
(1)求 RA；
(2)求B∪( RA)．
16．(15分)(2024年屯溪区校级期中)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}．
(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
(2)若命题“ x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
17．(15分)(2024年葫芦岛期末)已知集合A＝{x|x2－4x－12＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，集合C＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且A∪B＝A．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若a＝－，x∈(A∩B)是x∈C的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．(17分)(2024年梅州期末)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(1)若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；
(2)若A≠ 且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．
19．(17分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．第一章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年吕梁期末)已知集合A＝{x|x＜2，x∈N}，则( )
A．0≠A B．{0，1} A
C．－1∈A D．{0，1}?A
【答案】B
【解析】集合A＝{x|x＜2，x∈N}＝{0，1}，则0∈A，1∈A，{0，1} A．故选B．
2．(2024年齐齐哈尔期末)命题“ x＞0，x2＋2x－5≥0”的否定是( )
A． x＞0，x2＋2x－5≥0 B． x＞0，x2＋2x－5＜0
C． x＞0，x2＋2x－5＜0 D． x≤0，x2＋2x－5＜0
【答案】B
【解析】“ x＞0，x2＋2x－5≥0”的否定： x＞0，x2＋2x－5＜0．故选B．
3．(2024年湛江期末)若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|1≤x≤9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】B＝{x∈Z|1≤x≤9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故图中阴影部分表示的集合为 BA＝{2，4，6，8，9}，共5个元素．故选C．
4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，则有若q：“x＝4”成立，则p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分条件．故选B．
5．“”是“＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ＞0，＞0 或所以“”是“＞0”的充分不必要条件．故选A．
6．(2024年晋中期末)已知集合M＝{x∈Z||x－1|＜3}，A＝{－1，0}，B＝{1，2，3，4}，则( )
A．A∪B＝M B．B M
C． MA B D．A∩B≠
【答案】C
【解析】集合M＝{x∈Z||x－1|＜3}＝{x∈Z|－2＜x＜4}＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0}，B＝{1，2，3，4}，∵A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}，∴选项A错误；∵4∈B，4 M，∴选项B错误； MA＝{1，2，3} B＝{1，2，3，4}，选项C正确；A∩B＝ ，选项D错误．故选C．
7．(2024年黔西南州期末)关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根的充要条件是( )
A．a＞2或a＜－2 B．a≥2或a≤－2
C．a＜1 D．a＞2
【答案】A
【解析】因为关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝a2－4＞0，解得a＞2或a＜－2．故选A．
8．若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如当a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0．故选A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．方程组的解集可表示为( )
A． B．
C．(1，2) D．{(2，1)}
【答案】ABD
【解析】方程组只有一个解，解为所以方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D都符合题意．
10．下列命题为真命题的有( )
A．p：所有平面四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
【答案】AC
【解析】所有平面四边形的内角和都是360°，故A正确；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，故B错误；令x＝，满足x为无理数，但x2还是无理数，故C正确；当a＝0时，|a|＝0，故D错误．故选AC．
11．下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是( )
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜＜
【答案】AD
【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A为充分条件；由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y，当t＞0时，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜＜，因为函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，可得x＞y＞0，故D是充分条件．故选AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年广州期末)命题“ x∈R，x2＋x－1＜0”的否定是__________________．
【答案】 x∈R，x2＋x－1≥0
【解析】“ x∈R，x2＋x－1＜0”的否定： x∈R，x2＋x－1≥0．
13．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的集合为__________．
【答案】{0，－1，2}
【解析】因为A∪B＝A，所以B A，当B＝ 时，a＝0；当B≠ 时，B＝，则＝－2或＝1，解得a＝－1或a＝2，所以实数a的集合为{0，－1，2}．
14．(2024年台山期中)已知集合M＝{x|－3≤x≤2，x∈R}，N＝{x|x∈N}，那么集合M∩N的真子集的个数为__________．
【答案】7
【解析】因为M＝{x|－3≤x≤2，x∈R}，N＝{x|x∈N}，所以M∩N＝{0，1，2}，所以集合M∩N的真子集的个数为23－1＝7．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．
(1)求 RA；
(2)求B∪( RA)．
解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x＜－1或x＞2}．
(2)B∪( RA)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．
16．(15分)(2024年屯溪区校级期中)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}．
(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
(2)若命题“ x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
解：(1)因为A∩B＝A，所以A B，
所以解得a≥7，
所以实数a的取值范围是{a|a≥7}．
(2)命题“ x∈B，则x∈A”是真命题，所以B A．
当B＝ 时，－1－2a＞a－2，解得a＜；
当B≠ 时，解得所以a∈ ．
综上所述，实数a的取值范围是．
17．(15分)(2024年葫芦岛期末)已知集合A＝{x|x2－4x－12＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，集合C＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且A∪B＝A．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若a＝－，x∈(A∩B)是x∈C的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：(1)A＝{x|x2－4x－12＝0}＝{－2，6}，
因为A∪B＝A，所以B A，当B＝ 时，a＝0；
当B＝{－2}时，由－2a－1＝0，解得a＝－；
当B＝{6}时，由6a－1＝0，解得a＝；
所以实数a的值组成的集合为．
(2)由题意，B＝{－2}，则A∩B＝{－2}，
又因为x∈(A∩B)是x∈C的充分不必要条件，
所以集合{－2}是集合C的真子集，于是1－m≤－2≤1＋m(等号不同时取得)，解得m≥3，所以，实数m的取值范围是{m|m≥3}．
18．(17分)(2024年梅州期末)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(1)若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；
(2)若A≠ 且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．
解：(1)集合A＝{x|ax－1＝0}，
B＝{x|x2－2x＋b＝0}，A∩B＝{3}，
∴解得a＝，b＝－3，
∴A＝＝{3}，
B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}．
(2)∵A≠ ，∴A＝{x|ax－1＝0}＝，
∵A∪B＝B，∴A B，
∴∈{x|x2－2x＋b＝0}，∴
∴实数a和b满足的关系式为b＝－＋．
19．(17分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．
证明：充分性．因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2，
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现x1＝x3，所以方程有公共根．
必要性．设x是方程的公共根，
则
①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，得a2＝b2＋c2，
所以∠A＝90°．
所以结论成立．
