课件11张PPT。3.1.1 数系的扩充与复数的概念
第三章 数系的扩充与复数的引入 本节主要学习复数的扩充与概念。我们用数系是如何发展来引入新课。教学过程通过讨论方程的根，引入新的数i,从而得到复数的代数形式。复数不能比较大小，但有复数的相等，因此，两个复数如果相等，则只能满足实部与虚部分别相等，从而解决有关复数的一些问题。
教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1巩固掌握复数表示何数时，参数应该满足的条件问题。通过例2和变式2巩固掌握了复数相等的有关问题，从而加深了对复数概念及复数相等的理解。
数系的扩充用图形表示包含关系：对于一元二次方程 没有实数根．引入一个新数：i我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？在几何上，我们用什么来表示实数? 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i2??1；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 .复数的代数形式：复数a+bi由已知准确地找出复数的实部与虚部是关键复数的实部与虚部所满足的不等式（组）的问题，进而求出m的值温 馨 提 示正确列出复数的实部与虚部满足的条件是关键如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．解：更具复数相等的定义，得方程组复数不能比较大小，但两个复数可以相等，实部与虚部分别相等1.虚数单位i的引入；课件13张PPT。3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义 本节主要学习复数的几何意义。以在几何上，我们用什么来表示实数引入新课。教学过程以学生探究为主，利用一个复数是由什么来确定，引导学生来理解（1）复数的第一个几何意义：复数与复平面内的点一一对应；（2）复数的第二个内何意义：复数与向量一一对应。使学生能够灵活应用所学知识，加深对复数几何意义的理解。
教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1和2巩固掌握复数与复平面内的点一一对应，解决了有关复数与点之间的相关问题。通过例2和变式巩固掌握复数的模、以及复数所对应的点所表示的几何图形的问题等。从而加深了对复数两个几何意义的理解。
在几何上，我们用什么来表示实数?类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实数可以用数轴上的点来表示。实数 数轴上的点 (形)(数)一一对应 复数的一般形式？Z=a+bi(a, b∈R)a为实部!b为虚部!一个复数由什么唯一确定？复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义（一） 例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想温 馨 提 示变式训练1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值. 解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2.变式训练2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明：对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限. 所以不等式解集为空集，所以复数所对应的点不可能位于第四象限.复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应一一对应复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bixOz=a+biy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:Z (a,b) 例2 求下列复数的模：
(1)z1=-5i； (2)z2=-3+4i ； (3)z3=5-5i；(4)z4=1+mi(m∈R) ； (5)z5=4a-3ai(a<0).xyO（2）设z=x+yi(x,y∈R)，则解：（1）满足|z|=5(z∈R)的z值有两个，为-5和5.55–5–5(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？变式训练：(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 所以满足|z|=5(z∈C)对应的点在复平面构成了以原点为圆心，以5为半径的圆.一一对应一一对应一一对应复数的几何意义复数还有哪些特征能和平面向量类比?课件23张PPT。第四节 复数代数形式的
加减运算 本课主要学习复数代数形式的加减运算的运用，以动画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公式和应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给出一些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。
在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析,总结小老师的方法,师生互动,讲练结合,同学总结提出解题注意事项,从而突出重点,突破难点。
3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外，还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化了．1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ .
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ (a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z1，z2对应向量分别为 ， ，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 .
实战演练
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[解析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
[点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．总结： 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．总结： 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可实施平行四边形法则和三角形法则．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是 ( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
[答案] C总结： 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有?ABCD一种情况，应该还有?ABDC和?ACBD两种情况．如图所示．[正解] 用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i
[答案] B
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i
＝(3＋3)＋(4－4)i＝62．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( )
A．0 B．2i C．6 D．6－2i
[答案] D
[解析] ∵z＋i－3＝3－i
∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i[答案] A[答案] －2i[答案] 5三、解答题
6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.课件28张PPT。第四节 复数代数形式的
乘除运算掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (a，b，c，d∈R)．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1·z33.共扼复数的概念
一般地，当两个复数的 ，虚部 数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数 ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．实部相等互为相反共轭虚数对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
练一练例1(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i， ω3 ＝1变式1例2[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合
P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}
＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
已知虚数单位i的幂，求和．
解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．例3
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008..
已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是该方程的一个根．例4注意： 因为已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是复数根，故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件求解．
有关复数的方程问题一般有两种情况：
①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复数根，求实系数．
②方程的根为实数，系数为复数，求实根． 解方程|x|＝2＋x－2i.例5[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式
|z|2＝z2.[答案] C[答案] D[答案] A二、填空题
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝______.
[答案] －1 1
