第一章 特殊平行四边形 单元测试 （含答案）2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 单元测试 2024-2025学年北师大版九年级数学上册
一、单选题
1．下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是(　　)
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．32 D．12
5．如图，在正方形中，点F为上的一点，与交于点E．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后的长和折痕的长分别是（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
7．如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作于点、于点，连接，则的最小值为（　　）
A． B．4 C．6 D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF=α，则∠BEF的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 （实线图） 是 （　　）.
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
二、填空题
11．如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为　 　 ．
12．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
13．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在轴上，，点的坐标是，是边的中点，反比例函数的图象经过点，则的值是　 　．
14．如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为　 　．
15．如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则　 　；若，的面积是，则的长为　 　．
16．如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是　 　．（填写序号）
三、解答题
17．已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，OE=8，求AD的长．
18．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
19．如图所示，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC．判断四边形DOCE的形状，并证明．
21．如图，点在的边AD上，，请从以下三个选项中：①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形.
（1）你添加的条件是　 　(填序号)；
（2）添加条件后，请证明为矩形.
22．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求n、k的值；
（2）已知点D是直线：上的一个动点．
①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______；
②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标；
（3）如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形．
①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)；
②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______．
23．在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF．
（1）如图1，当点D与点A重合时，
①求证：∠C＝∠CEF；
②判断AF与BC的位置关系是 ▲ ；
（2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P，若AB＝CD＝2，求PF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】10
13．【答案】
14．【答案】13
15．【答案】1；
16．【答案】①②③
17．【答案】16
18．【答案】4
19．【答案】解：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF.
20．【答案】解：四边形DOCE是矩形．
证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴四边形DOCE是矩形．
21．【答案】（1）①或②
（2）解：选择①∠1=∠2，
证明：∵BM=CM，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴为矩形；
选择②AM=DM，
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠A+∠D=180°，
在和中，
，
∴，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
为矩形.
22．【答案】（1）n、k的值分别为、；
（2）①；②或
（3）①；②
23．【答案】（1）解：①证明：∵AC＝BC，AE＝AB，
∴∠CAB＝∠B＝∠AEB，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝180°﹣2∠B，
由旋转的性质可得∠FEA＝∠B，∠F＝∠C，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2∠B，
∴∠C＝∠CEF；
②AF∥BC；
（2）解：AF∥BC，理由为：
过点F作FH⊥CB于点H，过点A作AK⊥BC于点K，如图，
则∠FHC＝∠AKB＝90°．
∴FH∥AK，
由旋转可得AC＝EF＝BC，
由（1）可得∠ACE＝∠CEF，
在△FHE和△AKC中，
，
∴△FHE≌△AKC（AAS），
∴FH＝AK，
∴四边形AKHF是矩形，
∴AF∥BC；
（3）解：连接AE，如图，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DE＝DB＝1，∠CDB＝90°，
∴∠EAD＝∠AED，∠EBD＝∠DEB，
∴∠AEB＝∠AED+∠DEB＝∠EAD+∠EBD＝90°，
由旋转可得DC＝DF，∠FDE＝∠CDB＝90°，
∴∠FDC＝∠EDB．
∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，
由（2）可得四边形AFCE是矩形，
∴CF＝AE，AF＝CE，AF∥CE，
，
，即，
，
，
∵AF∥CE，
∴△PFA∽△PCB，
，即，
解得.