课件30张PPT。2.1 数列的概念与简单表示法第二章 数列 本节主要讲解数列的概念和简单表示方法。借助数麦粒的故事引入新课，强调了数列在生活中的作用，生动、直观、有吸引力。利用正方形数和三角形数引入概念。从两个角度探究数列的分类并利用例题加以巩固；利用例子引导学生探究数列与函数的关系；希尔宾斯基（Sierpinski）三角形给出数列的递推公式；借助典例巩固数列的通项公式、递推公式；借助银行存款利率问题和斐波那契数列对本节的认识有进一步的提升.
教学过程讲练结合，其中例1、变式1、例2主要研究写书数列的通项公式。例2借助希尔宾斯（Sierpinski）三角形给出递推公式的概念。例3、例4会用通项公式写出数列的项，用变式3、变式4加以巩固。知识扩展介绍神奇的斐波那契数列，有趣味性，增长知识能够吸引学生.
http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=5424d5b85aa8a9cc1dd720db得数为：18446744073709551615国际象棋的故事三角形中小正方形数1, 3, 6, 10, .….. 正方形中小正方形数1, 4, 9, 16, ……传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？数列的基本概念按照一定顺序排列着的一列数数列中每一个数 排在第一位的数排在第2位的数排在第n位的数数 列数 列 的 项首 项 第 2 项第 n 项数列的分类：
1、按项的个数分：
项数有限的数列叫做有穷数列；
项数无限的数列叫做无穷数列。（右下标n表示项的位置序号）。数列的概念 递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项2、按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分：常数列
各项都
相等 摆动数列
从第2项起，
有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项⑴全体自然数构成数列：
⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）0，1，2，3, … .
82，93，105，119，129，130，132.构成数列
⑶无穷多个3构成数列3，3，3，3，3, … .⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.⑸-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂 构成数列-1，1，-1，1, … .……你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗?无穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列递增数列递增数列常数列递减数列摆动数列数列的图像1234567891024681012141618200是些孤立点-1我们好孤单！我们好孤单！如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 思考： 通项公式可以看成数列的函数解析式．利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？数列的通项公式我们可以根据数列的通项公式写出数列． 例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（2）2，0，2， 0；解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为：典例展示（2）2，0，2， 0；这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为：an=（-1）n+1+1如（1）也可以写作：或与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示．
数列的图象是一系列孤立的点．
例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列2，4，6，…，2n，… .这个数列还可以用列表和图象分别表示在下表和下图中变式1．数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式：例2 下图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解：如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27 ．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1 ．所以，这个数列的一个通项公式是：an=3n-1数列an=3n-1在直角坐标系中的图象如下：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起的每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（n＞1），那么a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，…像这样给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1（n＞1）称为递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．递推公式例3：一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6 B．－3
C．－12 D．－6答案：D 例4：设数列{an}满足写出这个数列的前5项．解：由题意可知a1=1，变式4：已知数列{an}满足a1=1，an=an-12-1（n＞1），写出它的前5项．解：由题意可知a1=1，a2=a12-1=12-1=0，a3=a22-1=02-1=-1，a4=a32-1=（-1）2-1=0，a5=a42-1=02-1=-1． 1,1,2,3,5,8,13,斐波那契 （Fibonacci；1170 ? 1250 ） 《算盘书》 1202.知识扩展海棠黃禅波斯菊雏菊（2）（13）（3）（5）剑兰有人说，大自然是懂数学的。（8）http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=5477d924956e44b315136cbe神奇的斐波那契数列
1、数列的有关概念2、数列的通项公式；3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是：(1) 会由通项公式 求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。课件23张PPT。第二章 数列2.2 等差数列?观察：这些数列有什么共同特点？(1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为
1984,1988,1992,1996,2000,2004
(2)某剧场前10排的座位数分别是：
38,40,42,44,46,48,50,52,54,56
(3)3,0,-3,-6,-9,-12,……
(4)2,4,6,8,10
(5)1,1,1,1,1,1……从第二项起，第一项与前一项的差都是同一个常数.等差数列的定义 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N),这就是数列的递推公式。（1）从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：（2）在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg），组成数列 : 48，53，58，63.0，5，10，15，20，25，…….（3）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放 水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位m）组成的数列为：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×(1＋利率×存期）.按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成的数列为：10072，10144，10216，10288，10360.请你写出这些数列的公差3、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由 公差d=0 4、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由2、若将数列中各项的次序作一次颠倒所得的数列29,22,15,8,1;是否为等差数列？若是，是否与原数列相同?公差是多少?若不是，说明理由 公差d=﹣7 不是公差d=71 、已知数列1, 8, 15, 22, 29；在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。等差中项( 3 ) , ( ) , 通项公式的推导一： 已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=da2=a1+da3-a2=da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4-a3=dan+1－an=da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5呢?a9呢?……
由此得到an=a1+（n-1）d , n∈N+,d是常数通项公式的推导二：a2-a1=da3-a2=dan-an-1=d……a3-a2=d+)an-a1=(n-1)dan=a1+(n-1)d这个方法我们称之为累加法，或者叠加法。总之?已知等差数列是的首项为a1，公差为d,则等差数列的通项公式为：例3:已知等差数列的首项 a1=3 ，公差 d =2，求它的通项公式an。分析：知道a1,d ,求an ;代入通项公式。解：∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d 等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d=3+(n-1) ×2=2n+1典例展示例4: (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？解：因此，解得1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3. -20是不是等差数列0，- ，-7…中的项；变式1：例5：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
解：由题意可知这是一个以 和 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是-２，公差是３.1.求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。 2.像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。求通项公式的关键步骤：变式2：(1)求等差数列9，5，1，…的第10项；an = a1+(n-1)d＝9＋(n-1)(－4)＝13－4n.当n＝10时，所以，等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.解：(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，得a10 =13－4×10＝－27.(2)由an＝4n－3知a1＝4×1－3＝1 且 d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4an = a1+(n-1)d 有 变式3：已知等差数列{an}中，a5＝－20， a20＝－35，试求出数列的通项公式.故数列{an}的通项公式为
an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n.解：由等差数列的通项公式：解得：a1=－16，d=－1●●●●●●●??思考：等差数列 an=a1+(n-1)d定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差: d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)通项公式:等差中项性质?课件22张PPT。第二章 数列2.3 等差数列前n项和公式 本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
本节教学讲练结合，例1和变式1是针对求和公式的基础运用的训练。例2实际问题体现数列在生活中的应用，例3和变式3强化求和公式的运用。通过典题讲解和针对性训练让学生深化理解等差数列前n项和公式。 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求和的问题，你能不能快速的求出呢？ 问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
高斯，(1777—1855） 德国著名数学家。
问题：如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？等差数列的前n项和公式思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？比较两个公式的异同例1. 根据下列条件，求相应的等差数列 的 在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?结论：知 三 求 二解题思路一般是:建立方程(组)求解等差数列的前n项和公式 解:利用a1=a20=再根据-1561例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校
通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目
标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的
校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500
万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一
年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金，其中那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。变式2 （I）根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：(1)a1=5, an=95,n=20;(2)a1=100, d=－2,n=50;S10=1000S50=2550（II）在等差数列中S10=120，求 a3+a8的值。由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24（III）等差数列－10，－6，－2，2，···前多少项的和是54？解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4令Sn=54，根据等差数列前项和公式，得：解得： n1=9, n2=－3 答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和是54。（舍去）?解：由题意可知将它们代入公式得到：解这个关于与d的方程组，得到：所以：??（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .??c3.判断一个数列是否为等差数列的方法。4.(1)倒序相加法求和
(2)方程思想在教学过程中的渗透课件26张PPT。第二章 数列2.4 等比数列 本节主要讲解等比数列概念，等比中项，等比数列的通项公式等知识。利用生活中的实例引入新课，国王赏麦的故事吸引学生注意力，使学生能够更有兴趣。
探究一主要是对等比数列概念的的辨析，借助例题巩固概念。探究二主要是通项公式的推到方法，借助例题加以巩固；探究三主要是研究函数与数列间的关系。
通项公式的推导过程利用视频讲解两种方法。数列与函数的关系应用视频讲解直观，明确，易懂。等比数列的性质用例题和变式加以巩固。
回忆： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。关于等比数列的小故事http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55dad550af508f0099b1c79c比较下列数列共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.（1） （2）（3）9，92，93，94，95，96， 9736，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…（4）等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。其数学表达式：(q≠0)思考:(1)如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是否是等比数列？为什么？答：不一定是等比数列。这是因为：
（1）若an=0，等式an+1=anq对n∈N+恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；
（4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？q=1，常数列；q<0，摆动数列；注意：1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同 一个非零常数。例1：判别下列数列是否为等比数列?
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……是不是是不是…… 例2:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2，a，8 (2) -4 ，b，c, 解得 a=4或a=-4 定义： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。练习：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ，
即：G=±4解：（1）根据题意，得（2）根据题意，得 变式1：观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1解：设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4.
由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，
则a＝a1a5＝1×4＝4，
又∵a3＝a1q2>0，
故a3＝2，∴a2a3a4＝a＝8.例3：在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．当n=1时，?……∵∴……等比数列的通项公式???（等比数列通项公式）想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：此式对n=1也成立∵……∴累乘法等比数列的通项公式例4：求下列等比数列的第4，5项：（2）1.2，2.4，4.8，… （1） 5，-15，45，…???????解得 因此，变式2：在等比数列{an}中，已知 ， 求an. 解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得 an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m数列与函数的关系?? 例5：根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗???解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有解得 因此，例6：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18，求它的第１项和第２项．?????等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq 等比数列有相似的性质吗？若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq证明:??????例7：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__________.
(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________.解析：(1)解法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，
∴a8a9a10a11＝52＝25.
解法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10
＝a·q34
＝(a·q17)2＝25.1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念.
2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思维能力，由特殊到一般的认知规律。
3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。课件21张PPT。2.5 等比数列的前n项和第二章 数列 本节课主要学习等比数列的前n项和公式。本课件以关于象棋的传说提出问题，以问题引入新课，吸引学生注意力。以学生探究为主，研究等比数列求和公式的两种方法，开阔学生的思路。强调公式的运用方法。
用例1和变式1,2加以巩固。探究等比数列前n项和公式与函数的关系，通过例2和变式3,4巩固掌握有关公式，并学会运用。教学过程有讲有练，例3运用等比数列的求和公式计算实际问题，增加变式用来巩固公式。例4展示错位相减法的应用. 国际象棋的棋盘上共有8行8列,构成64个格子.国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说.国际象棋与等比数列的前n项和http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55dad553af508f0099b1c79e等比数列的前n项和说明：这种求和方法称为错位相减法注:（1）公式中涉及 五个量
“知三求二” (方程思想)
（2）选择合适的公式，简化运算过程
q≠1时，已知首项和公比，用
已知首项和末项，用
解:???等比数列前n项和公式与函数的关系D 例3：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？解：a1=5000, q=1+10%=1.1 sn=30000D错位相减法q≠1,q=1
分类讨论乘公比
错位相减转
化
思
想方
程
思
想数学
源于生活数学
用于生活或知三求二分组求和等比数列的
前n项和公式
