(共21张PPT)
第三章 实数
3.3.1实数的分类及性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。
2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。
3.通过对实数的分类，培养学生对相关问题正确分类的能力；同时，培养学生利用类比的方法解决问题的能力 。
4.体验分类和类比的思想，训练多角度的思维能力 。
02
新知导入
下列各数中， 哪些是有理数？ 哪些是无理数？
，0，1.414，，π，-，，
0.101 001 000 1…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）.
有理数：0， 1.414，-
无理数：
0.101 001 000 1…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）.
03
新知讲解
一、实数分类
有理数和无理数的统称是什么？
有理数和无理数统称为实数。
实数
有理数
无理数（无限不循环小数）
整数
分数
（有限小数或无限循环小数）
按定义分
03
新知讲解
一、实数分类
有理数与数轴上的点一一对应，无理数与数轴上的点有什么关系？
猜想：无理数与数轴上的点一一对应。
例:如何用数轴上的点表示无理数和 ？
可将数值看成面积为8的正方形，其边长为。
以数轴的原点 O 为圆心， 以正方形的边长为半径画弧， 与正半轴的交点 M就表示，与负半轴的交点 N 就表示-
如图：
0
-3
-2
-1
1
2
3
O
M
N
03
新知讲解
一、实数分类
即用数轴上唯一的一个点表示出了无理数和 。
综上所述：
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.
反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.
总结：实数和数轴上的点一一对应.
0
-3
-2
-1
1
2
3
O
M
N
03
新知讲解
一、实数分类
前面学过实数可以按什么分类？
按定义分
是否还有其他分类标准？
实数分为正实数、 零、 负实数．
实数
正实数
负实数
正有理数
负有理数
零
正无理数
负无理数
按正负性分
03
新知讲解
二、实数性质
1.如何利用数轴区分正负？
与规定有理数的大小一样， 规定正实数都大于0， 负实数都小于0. 数轴上表示正实数的点在原点右边， 表示负实数的点在原点左边.
2.实数的相反数：
与有理数一样， 如果两个实数只有符号不同， 那么其中的一个数叫作另一个数的相反数， 也说它们互为相反数．
我们把实数 a的相反数记作-a.
实数的大小
03
新知讲解
二、实数性质
实数的绝对值：
正实数的绝对值是它本身，；
负实数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0.
设 a 表示一个实数， 则：
|a|
a， 当 a > 0 时，
0 ， 当 a = 0 时，
-a， 当 a < 0 时.
04
典例分析
例1：求下列各数的相反数和绝对值:
-，π-3.14
解 ∵ -（-）=，
-（π-3.14）=3.14-π，
∴ -，π-3.144 的相反数分别为，3.14-π.
由绝对值的意义得：
|-|=，|π-3.14|=π-3.14.
05
课堂练习
1.下列实数中,哪个数是负数 ( )
A.0 B.3 C. D.-1
2.3-π的绝对值是 ( )
A.3-π B.π-3 C.3 D.π
3.下列各组数中,互为相反数的是 ( )
A.|-|与 B.-3与
C.3与(-)2 D.-3与
D
B
【知识技能类作业】必做题：
D
05
课堂练习
4.有下列说法:
(1)无理数就是开方开不尽的数;
(2)有理数包括正数、0、负数;
(3)有理数和无理数统称为实数;
(4)无限小数都是无理数;
(5)无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.-π的绝对值是______.
B
【知识技能类作业】选做题：
π-
05
课堂练习
6.实数a,b满足0>a>b,求a+b的相反数和绝对值.
解：∵-(a+b)=-a-b,
∴a+b的相反数是-a-b;
由绝对值的意义,得|a+b|=-a-b.
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
实数的分类及性质
1.实数的分类：
按定义分：实数分为有理数和无理数。
按正负性分：实数分为正实数、零和负实数。
2.实数的性质：
实数的大小
实数的相反数
实数的绝对值
07
作业布置
1.8的相反数的立方根是( )
A.2 B. C.-2 D.-
2.下列各数中,绝对值最小的数是( )
A.0 B.-1 C.- D.
3.在实数和5.1之间存在着无数个实数,其中整数有_____个.
C
A
【知识技能类作业】必做题：
3
07
作业布置
4.如图,正方形的面积为13,则数轴上点A表示的实数是____.
【知识技能类作业】选做题：
07
作业布置
5.如图,数轴上表示1,的点分别为A,B.若A是BC的中点,则点C表示的数是多少
解：由题意可知AB=AC=-1,
所以点C表示的数是1-(-1)=2-.
【综合拓展类作业】
08
板书设计
实数的分类及性质
实数的分类
实数的性质
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分课时教学设计
第一课时《 3.3.1实数的分类及性质 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 实数的分类及性质是学生在学习了有理数（包括整数和分数）和无理数（如π、等）之后的一个重要章节。这一章不仅扩展了数的范围，还深化了学生对数的性质和分类的理解。是后续学习代数、方程、不等式等数学知识的基础。掌握实数的概念和性质，对于学生理解和解决更复杂的数学问题具有重要意义。
学习者分析 学生在此之前已经掌握了有理数和无理数的概念，对数的运算也有一定了解。然而，对于实数的全面分类及其性质的理解尚不深入。学生可能对有理数（包括整数和分数）与无理数（如π、开方开不尽的数）的区分较为清晰，但在实际分类时可能存在遗漏或混淆。此外，学生对实数与数轴的关系有一定认识，但运用数轴表示无理数及理解实数性质方面仍需加强。因此，教学需注重引导学生深入理解实数的分类和性质，通过实例和练习巩固所学知识，同时培养学生的观察、分析和归纳能力 。
教学目标 1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。 2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。 3.通过对实数的分类，培养学生对相关问题正确分类的能力；同时，培养学生利用类比的方法解决问题的能力 。 4.体验分类和类比的思想，训练多角度的思维能力 。
教学重点 理解无理数和实数的概念，并能对实数进行准确的分类。
教学难点 理解实数与数轴上的点的一一对应关系，尤其是无理数如何在数轴上表示。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 下列各数中， 哪些是有理数？ 哪些是无理数？ ，0，1.414，，π，-，， 0.101 001 000 1…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）. 有理数：0， 1.414，- 无理数： 0.101 001 000 1…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）.学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 通过有理数和无理数，引出课题《实数的分类及性质》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、实数的分类 按定义分： 有理数与数轴上的点一一对应，无理数与数轴上的点有什么关系？ 猜想：无理数与数轴上的点一一对应。 例:如何用数轴上的点表示无理数和 ？ 可将数值看成面积为8的正方形，其边长为。 以数轴的原点 O 为圆心， 以正方形的边长为半径画弧， 与正半轴的交点 M就表示，与负半轴的交点 N 就表示- 如图： 即用数轴上唯一的一个点表示出了无理数和 。 综上所述： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 总结：实数和数轴上的点一一对应. 前面学过实数可以按什么分类？ 按定义分 是否还有其他分类标准？ 实数分为正实数、 零、 负实数． 按正负性分： 学生活动2： 组织学生进行讨论，讨论实数的分类情况，在讨论过程中教师下讲台巡视，并给予指导。 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高学生合作探究能力以及分析问题、解决问题的能力，加深类比的思想。环节三：新知讲解教师活动3： 实数性质 1.如何利用数轴区分正负？ 与规定有理数的大小一样， 规定正实数都大于0， 负实数都小于0. 数轴上表示正实数的点在原点右边， 表示负实数的点在原点左边. 2.实数的相反数： 与有理数一样， 如果两个实数只有符号不同， 那么其中的一个数叫作另一个数的相反数， 也说它们互为相反数． 我们把实数 a的相反数记作-a. 实数的绝对值： 正实数的绝对值是它本身； 负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 设 a 表示一个实数， 则： 学生活动3： 学生自主探究实数的性质（实数大小、相反数、绝对值），由学生抢答，教师总结活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 例1：求下列各数的相反数和绝对值: -，π-3.14 解 ∵ -（-）=， -（π-3.14）=3.14-π， ∴ -，π-3.144 的相反数分别为，3.14-π. 由绝对值的意义得： |-|=，|π-3.14|=π-3.14.学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 3.3.1实数的分类及性质 实数的分类 及性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列实数中,哪个数是负数 ( D ) A.0 B.3 C. D.-1 2.3-π的绝对值是 ( B ) A.3-π B.π-3 C.3 D.π 3.下列各组数中,互为相反数的是 ( D ) A.|-|与 B.-3与 C.3与(-)2 D.-3与 选做题： 4.有下列说法: (1)无理数就是开方开不尽的数; (2)有理数包括正数、0、负数; (3)有理数和无理数统称为实数; (4)无限小数都是无理数; (5)无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的个数是 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.-π的绝对值是__π-____. 【综合拓展类作业】 6.实数a,b满足0>a>b,求a+b的相反数和绝对值. 解：∵-(a+b)=-a-b, ∴a+b的相反数是-a-b; 由绝对值的意义,得|a+b|=-a-b.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.8的相反数的立方根是( C ) A.2 B. C.-2 D.- 2.下列各数中,绝对值最小的数是( A ) A.0 B.-1 C.- D. 3.在实数和5.1之间存在着无数个实数,其中整数有___3__个. 选做题： 如图,正方形的面积为13,则数轴上点A表示的实数是____. 【综合拓展类作业】 5.如图,数轴上表示1,的点分别为A,B.若A是BC的中点,则点C表示的数是多少 解：由题意可知AB=AC=-1, 所以点C表示的数是1-(-1)=2-.
教学反思 注重了学生的主体性，鼓励他们积极参与课堂讨论。通过小组合作、个人思考等方式，学生不仅加深了对实数概念的理解，还培养了他们的合作精神和思维能力。充分利用了数轴这个工具，帮助学生理解实数与数轴上的点的一一对应关系。通过数轴，学生更加直观地感受到了实数的大小关系和顺序关系。对于部分无理数的引入，如π、e等，可能过于抽象，导致部分学生理解起来有些困难。在今后的教学中，我会尝试用更具体、更生动的方式引入这些无理数，以便学生更好地理解和接受。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 第三章
课标要求 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有—一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和干以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
学情分析 知识基础 ：学生已掌握有理数的概念和运算，为实数的学习奠定了基础。 认知阶段 ：对于实数，尤其是无理数的概念，学生处于初级阶段，理解尚不深入。 能力特点 ：学生具备较强的逻辑思维能力，但在解决实际问题时能力有待提升。 学习态度 ：普遍具有探究精神和合作意识，但部分学生存在学习主动性不足、课堂参与度不高的问题。 学习习惯 ：学生间存在差异，部分善于自主学习和总结规律，而另一部分更依赖教师引导。了解这些学情特点有助于教师采取针对性的教学策略，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
单元目标 （一）教学目标①掌握立方根、平方根、算术平方根的概念及求法 ；②理解无理数和实数的定义，能对实数进行分类，并了解实数与数轴上的点一一对应的关系 ；③通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索立方根、平方根、无理数的性质，培养逻辑思维能力和创新思维能力 ；④通过实例引入，培养学生独立思考和解决问题的能力 ；⑤激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力 ；⑥让学生体验到数学与生活息息相关，是有用的、有价值的数学 。（二）教学重点、难点重点：①实数的定义与性质 ：理解实数的概念，掌握实数的性质； ②实数的运算 ：掌握实数加、减、乘、除、乘方等运算规则。难点：①实数在数学中的应用 ：特别是解决实际问题时，如何有效地运用实数的概念和性质； ②平方根和立方根的实际应用 ：学会求一个正实数的平方根和立方根，并能够运用它们解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1平方根23.2立方根13.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。3.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。4.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。学生理解并掌握平方根的定义及性质；会用计算器求平方根。活动一：通过例题合作总结平方根、算术平方根、无理数的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器计算无理数。3.2立方根1.了解立方根的概念，理解立方根的性质。2.理解开立方与立方是一对互逆运算，会用立方根的概念求某些数的立方根，并能用根号给出表示。3.通过对具体问题的分析，体验互逆运算的辩证思想，感受立方根在现实世界中的客观存在。4.了解数学知识源于生活、服务生活，从而增强学习数学的兴趣 。学学生理解并掌握立方根的定义及性质；会用计算器求开立方；理解开立方和立方互为逆运算。活动一：通过例题合作总结立方根的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器开立方。3.3实数1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。3.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。4.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。学生理解实数的分类（按定义分、按正负性分），并能区分哪些是有理数、哪些是无理数；掌握实数的运算和大小比较。活动一：学生通过问题探究实数的概念和分类；活动二：学生利用有理数的运算知道实数的运算和大小比较。
《实数》单元教学设计
活动一：（合作完成）根据问题合作探究平方根与算术平方根的定义和性质。
活动二：（独立完成）通过问题认识开平方、平方和开平方互为逆运算。
3.1.1平方根与算术平方根
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究无理数的定义。
3.1.2无理数
活动二：（独立完成）通过问题总结归纳近似数、近似值。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究立方根的定义和表达方式。
活动二：（合作完成）通过问题总结归纳开立方和立方互为逆运算。
3.2立方根
实数
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的分类。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的性质。
。
3.3.1实数的分类及性质
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的运算。
。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的大小比较。
。
3.3.2实数的运算
活动三：利用所学知识完成例题
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