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分课时教学设计
第二课时《 3.3.2实数的运算 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 该节内容强调有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用，教材通过情境导入和合作探究的方式，引导学生理解实数的运算，培养学生的运算能力和数学思维能力 。同时，教材还注重实数与数轴上的点的关系，以及实数的相反数和绝对值的概念，帮助学生全面理解实数的性质和运算 。整体而言，该节教材设计科学合理，注重知识的连贯性和系统性，符合学生的认知规律，有助于提高学生的数学核心素养 。
学习者分析 学生已掌握有理数的加、减、乘、除运算，以及函数、方程等代数知识，为实数运算提供了基础。学生的逻辑推理和数学建模能力在逐步提升，但部分学生在运算过程中易忽视细节，如符号误用、运算顺序错误等。部分学生对数学学习缺乏兴趣，对复杂问题易产生畏惧心理，需通过实际操作和拓展应用提高学习兴趣和积极性。
教学目标 1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。 2.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。 3.培养学生根据现有条件或式子找出共性，进而发现规律的能力，培养学生的钻研精神和创新能力 。 4.通过探索规律的过程，培养学生对数学学习的兴趣和积极性。
教学重点 能用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律。
教学难点 估算一个无理数的范围，以及实数运算在实际问题中的应用 。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？ 加、减、乘、除、乘方、开方运算 2.有哪些规定吗？ 除法运算不为0（除数），只有非负数可以进行开平方运算，任一实数都可以进行立方运算。 3.有理数满足哪些运算律？ 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法对加法的分配率。学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 通过回顾实数的相关知识，引出课题《实数的运算》。环节二：新知讲解教师活动2： 实数的运算 （7） 1 · a = a · 1 =a； （8）a(b+c)=ab+ac（乘法对于加法的分配律）， (b+c)a=ba+ca（乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为a-b=a+(-b)； （10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，我们把b叫作a的__倒数____； （11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为a÷b= a· ； （12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么ab__≠__0.学生活动2： 根据有理数的运算法则回答实数的运算法则，由学生独立完成并上台板演，由教师给出正确答案，可知实数同样满足有理数的运算法则。 活动意图说明： 在本环节通过学生独立回答问题可提高全面解决问题的能力，提高自信心。环节三：新知讲解教师活动3： 二、实数的大小比较 实数的大小比较有哪些方法？ 方法一：利用数轴比较实数大小 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。 方法二：作差比较法 对于实数 a，b， 如果 a－ b＞0， 则称a 大于 b （或者 b小于 a）， 记作 a ＞ b （或 b＜ a）； 同样地， 如果 a － b＜ 0， 则称a 小于 a， 记作 a＜ b． 实数的大小比较有哪些方法？ 方法三：利用法则比较实数大小 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 两个正数，绝对值大的数较大； 两个负数，绝对值大的数反而小。 比较两个实数的大小的方法有很多，除以上方法外，还有倒数法、平方法。要根据具体问题选择合适方法比较。 对于实数， 我们可以得出： 每个正实数有且只有两个平方根， 它们互为相反数； 0的平方根是0； 在实数范围内， 负实数没有平方根； 在实数范围内， 每个实数a有且只有一个立方根. 前面所学的有关数、 式、 方程（组）的性质、 法则和解法， 对于实数仍然成立． 在实数运算中如果需要计算无理数的近似值时，如何计算？ 可利用计算器 不用计算器，可否找出无理数介于哪两个连续整数之间？如 因为23=8，33=27，（）3=25， 所以介于整数 2 和 3 之间.学生活动3： 组织学生进行讨论，思考实数的大小比较的方法，有学生代表发言，其他小组补充，并有学生教师进行多元化评价，最后教师通过多媒体给出正确答案。活动意图说明： 学生通过小组讨论可提高交流能力并能通过团队合作解决问题的意识加深。环节四：典例精析教师活动4： 例2：计算下列各式的值： （1）（+）- （2）2-3 解 （1）（+）- =+（-） （加法结合律） =+0 = （2）2-3 =（2-3）（乘法对于加法的分配律） =- 例3：用计算器计算：×（精确到小数点后面第二位）. 解 按键： 显示： 3.162 277 66 精确到小数点后面第二位得： 3.16. ×≈3.16 在实数运算中， 如果遇到无理数， 并且需要求出结果的近似值时， 可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数， 再进行计算.学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 3.3.2实数的运算 实数的运算
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列实数中，比-5小的数是( A ) A.-6 B.- C.0 D. 2.估计的值在( C ) A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 3.若a=，b=，c=2，则a，b，c的大小关系为( C ) A.b
0， ∴x＝，2x=2 ∵正方形空地的面积为196 m2， ∴正方形空地的边长为14 m， ∵2>14， ∴该小区不能实现这个计划。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下面用数轴上的点P表示实数-2，正确的是( B ) 2.-27的立方根与81的平方根的和是 ( C ) A.6 B.0 C.6或-12 D.0或6 3.若6-的整数部分为x，小数部分为y，则(2x+)y的值为___3__. 选做题： 4.估计++的值在 ( B ) A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 【综合拓展类作业】 5.写出所有符合下列要求的实数. (1)大于-且小于的所有整数; (2)小于的所有正整数; (3)绝对值小于的所有整数. 解：(1)-2，-1，0，1，2，3，4. (2)1，2，3，4，5，6，7. (3)-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
教学反思 本次教学主要围绕实数的运算展开，包括加、减、乘、除等基本运算以及运算律的应用。在教学过程中，我注重引导学生回顾有理数的运算法则，并通过类比的方法引入实数的运算法则和运算律。然而，在实际操作中，我发现部分学生在应用运算律时仍存在困惑，尤其是在处理复杂表达式时容易出错。这提示我在后续教学中需要更加注重运算律的深入讲解和练习，确保学生能够熟练掌握。
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第三章 实数
3.3.2实数的运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。
2.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。
3.培养学生根据现有条件或式子找出共性，进而发现规律的能力，培养学生的钻研精神和创新能力 。
4.通过探索规律的过程，培养学生对数学学习的兴趣和积极性。
02
新知导入
1.在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？
加、减、乘、除、乘方、开方运算
2.有哪些规定吗？
除法运算不为0（除数），只有非负数可以进行开平方运算，任一实数都可以进行立方运算。
3.有理数满足哪些运算律？
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法对加法的分配率。
03
新知讲解
一、实数的运算
填空：
设 a，b，c是任意实数， 则
（1）a+b= （加法交换律）；
（2）(a+b)+c = （加法结合律）；
（3）a+0=0+a = ；
（4）a+(-a)=(-a)+a = ；
（5）ab = （乘法交换律）；
（6）(ab)c = （乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
03
新知讲解
一、实数的运算
（7） 1 · a = a · 1 = ；
（8）a(b+c)= （乘法对于加法的分配律），
(b+c)a= （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b=a+ ；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足
a·b=b·a=1，我们把b叫作a的______；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为a÷b= a· ；
（12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么ab____0.
a
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
03
新知讲解
一、实数的运算
在进行实数的运算时， 有理数的运算法则、 运算律等， 对于实数仍然成立.
03
新知讲解
二、实数的大小比较
实数的大小比较有哪些方法？
方法一：利用数轴比较实数大小
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。
方法二：作差比较法
对于实数 a，b， 如果 a－ b＞0， 则称a 大于 b （或者 b小于 a）， 记作 a ＞ b （或 b＜ a）； 同样地， 如果 a － b＜ 0， 则称a 小于 a，
记作 a＜ b．
03
新知讲解
二、实数的大小比较
实数的大小比较有哪些方法？
方法三：利用法则比较实数大小
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
两个正数，绝对值大的数较大；
两个负数，绝对值大的数反而小。
比较两个实数的大小的方法有很多，除以上方法外，还有倒数法、平方法。要根据具体问题选择合适方法比较。
03
新知讲解
二、实数的大小比较
对于实数， 我们可以得出：
每个正实数有且只有两个平方根， 它们互为相反数；
0的平方根是0；
在实数范围内， 负实数没有平方根；
在实数范围内， 每个实数a有且只有一个立方根.
前面所学的有关数、 式、 方程（组）的性质、 法则和解法， 对于实数仍然成立．
03
新知讲解
二、实数的大小比较
在实数运算中如果需要计算无理数的近似值时，如何计算？
可利用计算器
不用计算器，可否找出无理数介于哪两个连续整数之间？如
因为23=8，33=27，（）3=25，
所以介于整数 2 和 3 之间.
04
典例分析
例2：计算下列各式的值：
（1）（+）- （2）2-3
解 （1）（+）-
=+（-） （加法结合律）
=+0
=
（2）2-3
=（2-3）（乘法对于加法的分配律）
=-
04
典例分析
例3：用计算器计算：×（精确到小数点后面第二位）.
解 按键：
显示： 3.162 277 66
精确到小数点后面第二位得： 3.16.
×≈3.16
在实数运算中， 如果遇到无理数， 并且需要求出结果的近似值时， 可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数， 再进行计算.
2
×
5
=
05
课堂练习
1.下列实数中,比-5小的数是( )
A.-6 B.- C.0 D.
2.估计的值在( )
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
3.若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为( )
A.bC.aA
C
【知识技能类作业】必做题：
C
05
课堂练习
4.若(3+)2=a+b(a,b为有理数),则a+b=( )
A.3 B.4 C.14 D.17
5.与-2最接近的自然数是______.
D
【知识技能类作业】选做题：
2
05
课堂练习
6.某小区计划在一块面积为196 m2的正方形空地上建一个面积为100 m2的长方形花坛(长方形花坛的各边与正方形空地的各边分别平行),要求长方形的长是宽的2倍.请你通过计算说明该小区能否实现这个计划.
解：设长方形花坛的宽为x m,则长为2x m.
由题意得2x·x=100,
∴x2＝50，
∵x>0，
∴x＝=，2x=2=10
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
6.某小区计划在一块面积为196 m2的正方形空地上建一个面积为100 m2的长方形花坛(长方形花坛的各边与正方形空地的各边分别平行),要求长方形的长是宽的2倍.请你通过计算说明该小区能否实现这个计划.
解： ∵正方形空地的面积为196 m2,
∴正方形空地的边长为14 m,
∵10 >14,
∴该小区不能实现这个计划.
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
实数的运算
1.实数的运算：
有理数的运算及运算法则，实数仍成立。
2.实数的大小比较：
方法一：利用数轴比较实数大小
方法二：作差比较法
方法三：利用法则比较实数大小
07
作业布置
1.下面用数轴上的点P表示实数-2,正确的是( )
2.-27的立方根与81的平方根的和是 ( )
A.6 B.0 C.6或-12 D.0或6
3.若6-的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+)y的值为_____.
B
C
【知识技能类作业】必做题：
3
07
作业布置
4.估计++的值在 ( )
A.5和6之间 B.6和7之间
C.7和8之间 D.8和9之间
【知识技能类作业】选做题：
B
07
作业布置
5.写出所有符合下列要求的实数.
(1)大于-且小于的所有整数;
(2)小于的所有正整数;
(3)绝对值小于的所有整数.
解：(1)-2,-1,0,1,2,3,4.
(2)1,2,3,4,5,6,7.
(3)-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【综合拓展类作业】
08
板书设计
实数的运算
实数的运算
实数的大小比较
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 第三章
课标要求 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有—一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和干以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
学情分析 知识基础 ：学生已掌握有理数的概念和运算，为实数的学习奠定了基础。 认知阶段 ：对于实数，尤其是无理数的概念，学生处于初级阶段，理解尚不深入。 能力特点 ：学生具备较强的逻辑思维能力，但在解决实际问题时能力有待提升。 学习态度 ：普遍具有探究精神和合作意识，但部分学生存在学习主动性不足、课堂参与度不高的问题。 学习习惯 ：学生间存在差异，部分善于自主学习和总结规律，而另一部分更依赖教师引导。了解这些学情特点有助于教师采取针对性的教学策略，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
单元目标 （一）教学目标①掌握立方根、平方根、算术平方根的概念及求法 ；②理解无理数和实数的定义，能对实数进行分类，并了解实数与数轴上的点一一对应的关系 ；③通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索立方根、平方根、无理数的性质，培养逻辑思维能力和创新思维能力 ；④通过实例引入，培养学生独立思考和解决问题的能力 ；⑤激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力 ；⑥让学生体验到数学与生活息息相关，是有用的、有价值的数学 。（二）教学重点、难点重点：①实数的定义与性质 ：理解实数的概念，掌握实数的性质； ②实数的运算 ：掌握实数加、减、乘、除、乘方等运算规则。难点：①实数在数学中的应用 ：特别是解决实际问题时，如何有效地运用实数的概念和性质； ②平方根和立方根的实际应用 ：学会求一个正实数的平方根和立方根，并能够运用它们解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1平方根23.2立方根13.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。3.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。4.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。学生理解并掌握平方根的定义及性质；会用计算器求平方根。活动一：通过例题合作总结平方根、算术平方根、无理数的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器计算无理数。3.2立方根1.了解立方根的概念，理解立方根的性质。2.理解开立方与立方是一对互逆运算，会用立方根的概念求某些数的立方根，并能用根号给出表示。3.通过对具体问题的分析，体验互逆运算的辩证思想，感受立方根在现实世界中的客观存在。4.了解数学知识源于生活、服务生活，从而增强学习数学的兴趣 。学学生理解并掌握立方根的定义及性质；会用计算器求开立方；理解开立方和立方互为逆运算。活动一：通过例题合作总结立方根的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器开立方。3.3实数1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。3.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。4.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。学生理解实数的分类（按定义分、按正负性分），并能区分哪些是有理数、哪些是无理数；掌握实数的运算和大小比较。活动一：学生通过问题探究实数的概念和分类；活动二：学生利用有理数的运算知道实数的运算和大小比较。
《实数》单元教学设计
活动一：（合作完成）根据问题合作探究平方根与算术平方根的定义和性质。
活动二：（独立完成）通过问题认识开平方、平方和开平方互为逆运算。
3.1.1平方根与算术平方根
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究无理数的定义。
3.1.2无理数
活动二：（独立完成）通过问题总结归纳近似数、近似值。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究立方根的定义和表达方式。
活动二：（合作完成）通过问题总结归纳开立方和立方互为逆运算。
3.2立方根
实数
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的分类。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的性质。
。
3.3.1实数的分类及性质
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的运算。
。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的大小比较。
。
3.3.2实数的运算
活动三：利用所学知识完成例题
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