初中数学北师大版 九年级上册 第一章 特殊平行四边形单元测试（含答案）

第一单元 特殊平行四边形
一、单选题
1．如图，的对角线，相交于点O，添加下列条件四边形一定是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ）
A．1.5 B．3 C．2 D．5
4．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，有DE＝CF，AF与BE相交于点G．AB＝4，DE＝1，则AG的长是（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在菱形中，E，F分别在，上，，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处，求重叠部分△AFC的面积（　　）
A．5.8 B．10 C．11.6 D．5
8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　）
A． B． C． D．2
9．如图，矩形中，，，E为边的中点，F为线段上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于点，交于点，点是中点且，给出以下结论：①；②是等边三角形；③；④其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则 ．

12．已知菱形有一个内角为，一条较短对角线长为6，那么菱形的边长为 ．
13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为
14．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ．
15．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为
16．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使点A落在对角线BD上的点E处，展开后得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG的长为 ．
17．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S△EFC=1
其中正确的序号是 ．
18．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ．
三、解答题
19．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接．
(1)求证：．
(2)当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
20．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？
21．如图，在矩形中．
(1)仅用直尺和圆规在矩形的边上找一点E，使平分；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，作线段的垂直平分线，分别与边及直线相交于点M、N，连接，试判断四边形的形状？并证明你的结论！
22．如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接，，设运动的时间为．
(1)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
(2)当为何值时，为直角三角形？
23．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B D A C C B D
11．6
12．6
13．12
14．45°
15．
16．
17．①②④．
18．
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴．
（2）解：当，四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
20．解：（1）四边形ADEF为平行四边形，
∵△ABD和△EBC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC；
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD
∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时， ADEF为菱形，当∠BAC=150°时 ADEF为矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴ ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是矩形．
21．（1）解：如图，点E即为所求作的点；
由作图可得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴四边形是菱形．
22．（1）证明：能，理由如下：
根据题意可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴要使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
∴当时，四边形为菱形；
（2）根据题意可知不符合题意，需分或两种情况讨论：
当时：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得；
如图，当时：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
综上所述，当或时，为直角三角形．
23．解：（1）∵点B的坐标为且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为，
设AC的表达式为，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式；
（2）∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：，
∴，解得a＝3，
∴点D的坐标为；
（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ON＝OC＝4＝EM，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，，
在Rt△ENO中，，
即，
解得：b＝，
则EM＝ON＝，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×＝；
故△OEA的面积为12或．