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第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 导数的概念及几何意义 (2) 基本初等函数的导数 (2)导数的运算和复合函数的导数 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年甲卷，5 分 2022年I卷，5分 2022年II卷，5分 2021年甲卷，5 分 2021年I卷，5分 2021年II卷，5分 2020年I卷，5分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、题型、难度均变化不大，频率很高； （2）重点是导数的概念、掌握基本初等函数的导数，理解导数的几何意义，能够用导数公式和导数的运算法则求函数的导数；主要导数的基本计算，利用导数的几何意义求切线，求公切线； （3）求导公式和运算法则，复合函数求导一定要非常熟练！
(
考试要求
小
)
1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；
2、通过函数图像，理解导数的几何意义；
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数；
4、能求简单的复合函数（形如）的导数.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:导数的概念及几何意义
1、导数定义
（1）平均变化率：
函数从到的平均变化率为：；
（2）瞬时变化率：
函数在处的瞬时变化率为：；
（3）导数定义：在点处的导数，记作；
2、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义是在点处切线的斜率;
（1）切点：；
（2）斜率：；
（3）切线方程：；
知识点2:基本初等函数的导数
1、基本初等函数的导数
（1）常函数：
（2）幂函数：
（3）指数函数：
（4）对数函数：
（5）三角函数：
知识点3:导数的运算
1、导数的运算法则
（1）数乘：【常数不用导】
（2）加减：【各自导再加减】
（3）乘法：【前导后不导加上前不导后导】
（4）除法：【上导下不导减去上不导下导 除以下不导的平方】
2、复合函数的导数
复合函数的导数和函数的导数间的关系为.
(
题型展示
小
)
题型一:导数的基本计算
【例1】设函数，若，则 ．
【答案】1
【详解】
（1）求导：
，
（2）代入：
，
（3）求解：
，
答案为.
【变式1】已知函数为的导函数，则的值为 .
【答案】3
【详解】
（1）求导：
（2）代入：
题型二:导数的几何意义
【例2】（2022·全国新Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
（1）求导数：，
（2）设切点，求切线方程
设切点为,可得
，
，
，
（3）原点代入得求方程
∵切线过原点，代入得：
，
（4）利用判别式求参数
∵切线有两条，
或，
∴的取值范围是,故答案为
【变式2】（2020·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，，，，
切线的方程为，即；答案为B.
题型三:两曲线的公切线
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】
由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,，解得.
故答案为：
【变式3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【详解】
对函数求导得，对求导得，
设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点则，由点在切线上得，
由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，
.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】
由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,，解得；故答案为.
【真题2】（2024·全国甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
（1）求导：
，
（2）代入求斜率：
，
（3）求切线方程：
，
（4）求面积：
令，则，令，则，
；
切线与两坐标轴所围成的三角形面积为，答案为A.
【真题3】（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
（1）设切线方程：
设曲线在点处的切线方程为，
；
（2）求导代入得斜率：
，
；
（3）代入化简：
答案为C.
【真题4】（2022·全国新Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】，.
【详解】
（1）化成分段函数
，
（2）分类讨论
1）时，，设切点为，求导求斜率得，
，
切线方程为：
，
又切线过坐标原点，代入原点：
，
代入，切线方程为，
；
2）时，设切点为，求导求斜率得，
，
代入斜率，切线方程为，
，
又切线过坐标原点，代入原点，
，
代入，切线方程为：
；
故答案为；.
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
（1）求导数：，
（2）设切点，求切线方程
设切点为,可得，，
，
（3）原点代入得求方程
∵切线过原点，代入得：
，
（4）利用判别式求参数
∵切线有两条，
或，
∴的取值范围是,故答案为
【真题6】（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，．
故切线方程为；答案为．
【真题7】（2021·全国新Ⅱ卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【详解】
由题意，，则，
点和点，,
，
，
，同理,
；故答案为：
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
方法1
在曲线上任取一点，对函数求导得，
曲线在点处的切线方程为，即，
点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.答案为D.
方法2 图象法
画出函数曲线的图象如图所示，
根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
答案为D.
【真题9】（2020·全国）设函数，若，则 ．
【答案】1
【详解】
（1）求导：
，
（2）代入：
，
（3）求解：
，
答案为.
【真题10】（2020·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，，，，
切线的方程为，即；答案为B.
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第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 导数的概念及几何意义 (2) 基本初等函数的导数 (2)导数的运算和复合函数的导数 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年甲卷，5 分 2022年I卷，5分 2022年II卷，5分 2021年甲卷，5 分 2021年I卷，5分 2021年II卷，5分 2020年I卷，5分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、题型、难度均变化不大，频率很高； （2）重点是导数的概念、掌握基本初等函数的导数，理解导数的几何意义，能够用导数公式和导数的运算法则求函数的导数；主要导数的基本计算，利用导数的几何意义求切线，求公切线； （3）求导公式和运算法则，复合函数求导一定要非常熟练！
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考试要求
小
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1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；
2、通过函数图像，理解导数的几何意义；
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数；
4、能求简单的复合函数（形如）的导数.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:导数的概念及几何意义
1、导数定义
（1）平均变化率：
函数从到的平均变化率为： ；
（2）瞬时变化率：
函数在处的瞬时变化率为： ；
（3）导数定义：在点处的导数，记作；
2、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义是 ;
（1）切点：；
（2）斜率：；
（3）切线方程： ；
知识点2:基本初等函数的导数
1、基本初等函数的导数
（1）常函数：；
（2）幂函数： ；
（3）指数函数：；
（4）对数函数：；
（5）三角函数：；
知识点3:导数的运算
1、导数的运算法则
（1）数乘： 【常数不用导】
（2）加减： 【各自导再加减】
（3）乘法： 【前导后不导加上前不导后导】
（4）除法： 【上导下不导减去上不导下导 除以下不导的平方】
2、复合函数的导数
复合函数的导数和函数的导数间的关系为.
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题型展示
小
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题型一:导数的基本计算
【例1】设函数，若，则 ．
【变式1】已知函数为的导函数，则的值为 .
题型二:导数的几何意义
【例2】（2022·全国新Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【变式2】（2020·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三:两曲线的公切线
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【变式3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【真题2】（2024·全国甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2022·全国新Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【真题6】（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为 ．
【真题7】（2021·全国新Ⅱ卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【真题9】（2020·全国）设函数，若，则 ．
【真题10】（2020·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
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