四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期第三次周考数学试卷（含答案）

石室中学高2025届高三复习数学周考试题（3）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题，命题，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．这10天中PM2.5日均值的极差是52
B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C．从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
D．这10天的PM2.5日均值的中位数是45
5．若，，，则ab的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
8．已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9．晓余每天9:00上班，17:30下班.若晓余从家到公司所需时间（单位:分钟）服从正态分布，从公司到家所需时间（单位:分钟）服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
（参考数据:若随机变量，则）
A．若晓余8:36从家出发去公司，则晓余迟到的概率大于0.02
B．若晓余8:42从家出发去公司，则晓余不迟到的概率小于0.2
C．若晓余17:40从公司出发回家，则晓余18:00后到家的概率小于0.97
D．若晓余17:30从公司出发回家，则晓余18:00前到家的概率大于0.8
10．已知，则（ ）
A． B．，使
C．，使 D．在上单调递增
11．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．记为等差数列的前项和，若，则 ．
13．过原点的直线与曲线，都相切，则实数 ．
14．已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数．
(1)若，求函数的对称中心；
(2)若在定义域上单调递增，求实数的最小值．
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．
(1)求证：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
17．（15分）为了检测A、B两种型号的抗甲流病毒疫苗的免疫效果，某医疗科研机构对100名志愿者注射A型号疫苗，对另外100名志愿者注射B型号疫苗，一个月后，检测这200名志愿者他们血液中是否产生抗体，统计结果如下表：
疫苗 抗体情况
有抗体 没有抗体
A型号疫苗 80 20
B型号疫苗 75 25
(1)根据小概率值的独立性检验，判断能否认为A型号疫苗比B型号疫苗效果好
(2)志愿者中已产生抗体的不用接种第二针，没有产生抗体的志愿者需接种原型号抗甲流病毒疫苗第二针，且第二针接种型号疫苗后每人产生抗体的概率为，第二针接种B型号疫苗后每人产生抗体的概率为，用样本频率估计概率，每名志愿者最多注射两针．现从注射A、B型号抗甲流病毒疫苗的志愿者中各随机抽取1人，X表示这2人中产生抗体的人数，求X分布列和数学期望．
参考公式：（其中）
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足为的重心？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”．
(1)设函数．
（i）当时，求在上的最大“Ω点”；
（ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围；
(2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于．
参考答案：
1．D
2．C
3．B
4．D
5．D
6．A
7．A
8．C
9．ABD
10．AC
11．ACD
12．63
13．
14．.
15．（1）当时，，其中，------------------2分
，
所以，
故函数的对称中心为． -----------------6分
（2）当时，，其中，
因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
又， -----------------8分
又，当且仅当时等号成立，
得到，所以，即，
所以的最小值为． -----------------13分
16．（1）因为平面，平面，
所以，，
又，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，设，，
所以，
则，
则，
故； -----------------7分

（2），则，
则，
则，
又，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，故. ----------------- 15分
17．（1）零假设为：两种型号疫苗的效果没有差异，
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
故不能认为型号抗甲流病毒疫苗比型号抗甲流病毒疫苗效果好； -----------------6分
（2）设事件“志愿者第一针接种A型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者第二针接种A型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者最多两针接种A型号疫苗产生抗体”，
所以，
则， -----------------7分
设事件“志愿者第一针接种B型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者第二针接种B型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者最多两针接种B型号疫苗产生抗体”，
所以，
则， -----------------8分
由题意可知，的可能取值为0，1，2，
， -----------------14分
所以分布列为
0 1 2
故． -----------------15分
18．（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得，
由于，故，即. ----------------6分
（2）联立与可得，
设，
则， ----------------8分
故
设存在点C满足，则，
故， ----------------10分
由于在，故，
化简得，即，解得或（舍去），--14分
由于，解得且，
故符合题意，由于，故，
故,故，
故存在，使得 ----------------17分
19.（1）（i）当时，，
则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
即对，，当时，都有，
即在上的最大“Ω点”为； ----------------4分
（ii）由题意可得在时恒成立，
，
令，，
则，
当时，恒成立，故在上单调递减，
则，
故在上单调递减，此时，符合要求；
当时，令，则，
则当，即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，
有，不符合要求，故舍去；
当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，
此时，符合要求；
当，即时，
若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有，解得，
由，故，
由，故，
即当时，符合要求；
综上所述，； ----------------10分
（2）若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求；
若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、，
其中、，、、、，
若，
则若，由，则，即，
若，由题意，，，
故，即，又，故，符合要求；
若，
则，，，，
由，则，
若，即，则，
若，由题意，，且，
又，故，即，，，，
即有，即，
由，故，
又，故，
即在D上的“Ω点”个数不小于. ----------------17分