四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高三上学期数学周练一（含答案）

绵阳南山中学实验学校高2022级数学周练一
时间：120分钟 总分：150分
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设函数的定义域为,集合,则等于( )
A. B. C. D.
2．已知数列满足，，若，则( )
A.18 B.16 C.11 D.6
3．下列说法错误的是( )
A.命题，，则，
B.已知，，“且”是“”的充分不必要条件
C.“”是“”的充要条件
D.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
4．在某病毒疫苗的研发过程中,需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验,得到如下列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合计 30 100
计算可知,根据小概率值________的独立性检验,分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”( )
附：,.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.001 B.0.05 C.0.01 D.0.005
5．存在函数满足：对任意都有( )
A. B.
C. D.
6．函数，正确的命题是( )
A.值域为 B.在上是增函数
C.有两个不同零点 D.过点的切线有两条
7.已知三次函数无极值点,则 的取值范围是( )
A. m<2或 m>4 B. m≥2或 m≤4 C. [2,4] D. （2,4)
8．已知，设函数，若存在，使得，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．已知等差数列，其前n项和为，，，则下列正确的是( )
A. B.
C.的最小值为6 D.数列是公比为2的等比数列
10．设正实数x,y满足,则下列说法正确的是( )
A.的最小值为4 B.的最大值为
C.的最大值为2 D.的最小值为
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，若，则下列说法正确的是( )
A.当时， B.
C.函数是增函数 D.函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数,则_____________.
13．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是__________.
14．已知函数，则的最小值是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1).求的值;
(2).若,在区间上的值不小于6,求实数的取值范围.
16．在等差数列中,,,,是和的等比中项.
（1）求的通项公式;
（2）若,求的前n项和.
17．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力.某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下：
投入x（亿元） 2 3 4 5 6
产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11
（1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当时，变量x，y有较强的线性相关关系）；
（2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
本题相关数据：，.
18．已知函数
(1).当时,求曲线在点处的切线方程;
(2).当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围;
(3).若对任意,且恒成立,求的取值范围.
19．基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数,,…,,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;
②为单调数列,则称数列具有性质P.
（1）若,求数列的最小项;
（2）若,记,判断数列是否具有性质P,并说明理由;
（3）若 ,求证: 数列 具有 性质P .
绵阳南山中学实验学校高2022级数学周练一参考答案
1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 7.C 8.D
9．AB 10.ABD 11.AD
12．答案： 13．答案： 14．答案：
8．解析：当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，且时，，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
综上，a的取值范围是.
10.解析：对于A,,,,,
当且仅当,即时等号成立,故A正确;
对于B,,,当且仅当,即,时等号成立,
所以的最大值为,故B正确;
对于C,因为,
所以的最大值为,故C错误;
对于D,因为,故D正确.
11.解析：当时，，故A正确；
，故B错误；
因为，，所以不是增函数，故C错误；
当时，其中，所以，可得，所以的值域为，故D正确.故选AD.
14．
.
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减.
则.
15．答案：(1). 又∵在点处的切线与直线垂直
(2).由题意 且 , ∵即令 取值范围为
16．（1）设数列的公差为d,由,,得,
因为,是和的等比中项,
所以,化简,得,
解得,或（舍）,所以.
（2）由（1）得,
所以,
两边同乘以,得,
两式相减,得
,所以.
17．（1）由表中数据可得，，
，
，，，
，
变量x、y有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）知，
所以，故y关于x的回归方程为，
将代入回归方程可得，，
故预测投入（亿元）时产品的收益为（亿元）.
18．(1).当时,
因为.所以切线方程是
(2).函数的定义域是
当时,
令,即,
所以或
当,即时, 在上单调递增,所以在上的最小值是;
当时, 在上的最小值是,不合题意;
当时, 在上单调递减,
所以在上的最小值是,不合题意
综上所述
(3).设,则,
只要在上单调递增即可
而
当时, ,此时在上单调递增;
当时,只需在上恒成立,因为,只要,则需要
对于函数,过定点,对称轴,只需,即.
综上
解析：
19．（1）,当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
（2）数列具有性质P.
,
,
数列满足条件①.
,,为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质P.
（3）先证数列满足条件①:
.
当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质P.