北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷（PDF版，无答案）

北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷
班级 姓名 学号
考 1． 本试卷有三道大题，共 6 页。考试时长 120 分钟，满分 150 分。
生
2． 考生务必将答案填写在答题纸（共 8 页）上，在试卷上作答无效。
须
知 3． 考试结束后，考生应将答题纸交回。
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
（1）已知集合M ={ x | x + 2≥0}， N ={ x | x 1 0}，则M N =（ ）
（A）{ x | 2≤ x 1} （B）{ x | 2 x≤1}
（C）{ x | x≥ 2} （D）{ x | x 1}
（2）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 ( 1, 3 ) ，则 i z =（ ）
（A） 3 + i （B） 3 i
（C） 3 i （D） 3 + i
（3）下列函数中，在区间 (0, + ) 上单调递减的是（ ）
（A） f (x) = 2x （B） f (x) = ln x
1
（C） f (x) = （D） f (x) = 3
| x 1 |
x
（4）已知实数 a,b满足 a b，则下列不等式中正确的是（ ）
（A） a2 ab （B） a | b | （C） | a | b （D） ab b2
（5）欧拉公式eix = cos x + i sin x（ i为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将
指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论
里占有非常重要的地位，特别是当 x = 时，ei +1= 0被认为是数学中最优美的公式，
数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，ei 在复平面中位于 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第1页（共 6 页）
{#{QQABDQQEo4ogAYoQwMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}
2x 1，0 x 2, 1
（6）已知函数 f (x) = 那么不等式 f (x) x2 的解集为（ ）
6 x, x≥ 2,
（A）（0，1） （B）（0，2） （C） (1， 4) （D） (1， 6)
（7）设a = 0.5
0.4 ,b = log0.5 0.4,c = log4 0.5，则a,b,c的大小关系是（ ）
（A）a b c （B） b c a （C） c b a （D）c a b
y x
（8）若 xy 0 ，则“ x + y = 0”是“ + = 2 ”的（ ）
x y
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x +1 1, x ( ,0)
（9）已知函数 f (x) = , g(x) = x
2 4x 4，设b R ，若存在
ln(x +1), x [0,+ )
a R ，使得 f (a) + g(b) = 0，则实数b 的取值范围是（ ）
（A） ( ,5] （B） ( , 1] [5,+ )
（C）[ 1,+ ) （D）[ 1,5]
（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的
三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算
时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数 N 的 70 次方是一个 83 位数，由下面表格中
部分对数的近似值（精确到 0.001），可得 N 的值为（ ）
M 2 3 7 11 13
lg M 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
（A）16 （B）15
（C）14 （D）13
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第2页（共 6 页）
{#{QQABDQQEo4ogAYowQMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
（11）函数 f (x) 2 x 的定义域是___________.
ln x
1
（12）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且当 x ( ,0]时， f (x) = 2
x + ，则
3
3
f (log ) = ___________. 2
2
ex + 2sin x
（13）设函数 f (x) = ，则曲线 y = f (x)在 (0,1)处的切线与两坐标轴围成
1+ x2
的三角形的面积为___________.
（14）对于三次函数 f (x) = ax3 +bx2 + cx + d (a 0)，给出定义： f ( x)是函数 f (x)
的导函数， f ( x)是 f ( x)的导函数，若方程 f (x) = 0有实数解 x0 ，则称点 (x0 , f (x0 ))
为函数 y = f (x)的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；
任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
1
f (x) = x3
1 5
若 x
2 + 3x ，根据这一发现，函数 y = f (x)的对称中心是 .
3 2 12
2x + a, x a
（15）已知函数 f (x) = 给出下列四个结论：
x
2 + 2ax, x a
①当a = 0时， f (x)的最小值为 0 ；
1
②当a 时， f (x)存在最小值；
3
③当a 1时， f (x)在 ( ,+ )上单调递增；
④ f (x)的零点个数为 g (a)，则函数 g (a)的值域为 0,1,2,3 ．
其中所有正确结论的序号是________．
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第3页（共 6 页）
{#{QQABDQQoE4ogAYowQMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
π
设函数 f (x) = sin xcos + cos xsin ( 0, | | )．
2
1
（Ⅰ）若 f (0) = ，求 的值；
2
π 2π 2π π
（Ⅱ）已知 f (x) 在区间[ , ]上单调递增， f ( ) =1， f ( ) = 1，求 , 的值．
3 3 3 3
（17）（本小题 13 分）
在 ABC中，b2 + c2 bc = a2 ．
（Ⅰ）求 A的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 ABC 存在且
唯一确定，求 ABC的面积．
11
条件①：cos B = ；
14
条件②：a +b =12；
条件③：c =12．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多组符合要求的条件分
别解答，按第一组解答计分．
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第4页（共 6 页）
{#{QQABDQQEo4ogAYowQMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}
（18）（本小题 14 分）
某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分
情况评选出一二三等奖若干．为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 500
名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（Ⅰ）分别从上述 200 名男生和 300 名女生中各随机抽取 1 名，求抽到的 2名学生都获
一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1 名，从该地区高一女生中随机
抽取 1 名，以 X 表示这 2 名学生中获奖的人数，求 X 的分布列和数学期望 EX ；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率
为 p0 ；从该地区高一男生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为 p1 ；从该地区
p + p
高一女生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为 p2 ，试比较 p0 与
1 2 的大
2
小．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) =1+ a(x 1) ln x ．
（Ⅰ）若 a = 2，求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若 a 2，证明：当 x 1时， f (x) ex 1．
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第5页（共 6 页）
{#{QQABDQQoE4ogAYoQwMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex asin x .
（Ⅰ）当 a = 2时，求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）当 a =1时，证明：函数 y = f (x) 2 在区间 (0, )上有且仅有一个零点；
（Ⅲ）若对任意 x [0, ]，不等式 f (x) 2 cos x恒成立，求实数 a的取值范围.
（21）（本小题 15 分）
已知数列 A：a ，a ， ，a ，满足：1 2 n ai {0，1} (i =1，2， ，n，n 2) ，从 A中选取
第 i1项、第 i 项、…、第 i 项（ i1 i 2 i m，m 2），称数列 ai ,ai , ,ai 为 A的长度2 m 1 2 m
为 m的子列．记T (A) 为 A所有子列的个数.例如 A：0，0，1，其T(A) = 3 .
（Ⅰ）设数列 A：1，1，0，0，写出 A的长度为 3 的全部子列，并求T (A) ；
（Ⅱ）设数列 A：a1 ，a2 ， ，an ，A ：an ，a n 1 ， ，a1 ，A ：1 a1 ，1 a2 ， ，1 an ，
判断T (A)，T (A )，T (A )的大小，并说明理由；
（Ⅲ）对于给定的正整数 n，k(1 k n 1) ，若数列 A：a1 ，a2 ， ，an 满足：
a1 + a2 + + an = k ，求T (A) 的最小值.
北京师大附中 2024—2025 学年（上）高三数学 10 月考试卷第6页（共 6 页）
{#{QQABDQQEo4ogAYowQMJBSAAACQQg4CKAAw0VU4oCgOuQkJAECgAJCcgYEggGRRCANAKAAIARAqASiYBNIAFBKCAA=}=#}}#}