第1章一元二次方程章末检测卷（含解析）

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第1章一元二次方程章末检测卷-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．方程中的根是（ ）
A．， B．，
C． D．
4．把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形的面积比正方形面积增加14cm2，那么原来正方形的边长是（ ）
A．3cm B．5cm C．4cm D．6cm
5．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一个三角形的两边长分别为和，第三边的长，且满足，则这个三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．或4 B．或4
C．或4 D．或
8．新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．当 时，代数式为完全平方式．
10．方程的根为 ．
11．已知，那么x与y的关系是 ．
12．已知关于x的方程，当 时，它是一元二次方程，
13．甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为 ．
14．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍．
15．已知、的坐标为，，点在直线上，若为等腰三角形，则这样的点共有 个．
16．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．
三、解答题
17．按要求解下列方程：
(1)；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）；
(4)．
18．已知：，且，求的值．
19．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
20．已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根．
(1)求m的值；
(2)求菱形的面积．
21．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
22．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）．
(1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？
(2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C C B D B
1．D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、化简后得，是一元一次方程，故此选项错误；
B、，是分式方程，故此选项错误；
C、中当时，是一元一次方程，故此选项错误；
D、，是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数为，一次项系数为，列式即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为 ，一次项系数为
∴方程整理得：．
结果一次项系数为，
，
即．
故选：B
3．B
【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：方程，
所以或，
解得：，．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．
此题的等量关系：所得的长方形的面积＝原正方形面积＋14，设未知数，列方程求解即可．
【详解】解：设原来正方形的边长为．
根据题意，可列方程为，
经解和检验后得．
即：原来正方形的边长为4cm．
故答案为：C．
5．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，结合一元二次方程的结构特点选取解法即可．
【详解】解：方程可同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及一元二次方程的求解，由题意得，求解一元二次方程可得，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
即：，
∵，
∴，
即：
∴（舍）
∴这个三角形的周长
故选：B
7．D
【分析】本题主要考查了相反数的定义，公式法解一元二次方程， 由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】解∶ 代数式与的值互为相反数，
则
整理得：，
解得：或，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据全班的人数，可得出每名学生需发送条祝福短信，利用发送短信的总条数全班人数（全班人数，即可列出关于的一元二次方程．
【详解】解：全班共有名学生，
每名学生需发送条祝福短信．
根据题意得：．
故选：B．
9．或或或
【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数及解一元二次方程．熟练掌握是解题的关键．根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，即或，
解得，或，
故答案为：或或或．
10．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用平方差公式把原方程变形为，进而提取公因式分解因式得到，据此解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：或．
11．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用根与系数的关系：，是方程的两根时，，．首先根据根与系数的关系求得一次项系数和常数项的值，再进一步得到方程即可．
【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，
由甲看错了一次项系数，解得根为4和，得，
乙看错了常数项，解得根为2和3，得．
则得出方程：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到，进而列出一元二次方程求解，即可解题．
【详解】解：设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，即，
又四边形是矩形，
故，
故，
，
，
，
解得，，
当时，，故舍去，
．
故为3s时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间的距离的2倍．
故答案为：3．
15．5
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质．分三种情况①，②，③，再根据勾股定理可求出．
【详解】解：设，
因为、的坐标为，，
①当时，则，
故有一个点；
②当时，则，
解得，
故有两个点；
③当时，则
解得：，
故有两个点；
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，
根据题意得：．
故答案为：．
17．(1)，
(2)
(3)，
(4)
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及配方法是解答此题的关键．
（1）直接根据开方法即可求出x的值；
（2）把原方程化为完全平方式的形式，再直接开平方即可；
（3）直接利用公式法求出x的值即可；
（4）利用因式分解法求出x的值即可．
【详解】（1）解：
解得，，
（2）解：，
，
，
，
解得，；
（3）解：，
∵
，
∴，
∴，
（4）解：
∴
∴．
18．3
【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论．
【详解】解：由可知．
两边除以得到，．
即，
又，且，即．
，是方程的两根，
，
．
19．减去的小正方形的边长为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设减去的小正方形的边长为，根据无盖纸盒的底面积为，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设减去的小正方形的边长为，根据题意得：
，
解的，（舍），
答：减去的小正方形的边长为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式及解一元二次方程．
（1）根据菱形的性质得到，由一元二次方程根与系数的关系及根的判别式即可解答；
（2）由（1）知m的值，代入方程，解一元二次方程，求出的值，即可解答．
【详解】（1）解：菱形中，，
由直角三角形的三边关系可得：，
的长分别是关于x的方程的两根
，，
∴，
整理得：，
解得：或5．
又∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将m的值代入方程得：．
解得，．
∴菱形的面积．
21．(1)
(2)或
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
22．(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元
(2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
（1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元．
（2）解：设每箱大果的售价应该降低元，
根据题意得，
即：
解得：，（舍）
∴，
答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元．
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