1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-第2课时课件(共52张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共52张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
【学习目标】
1.知道两个相交平面夹角的含义，借助直线的方向向量和平面的法向量，
能求直线与直线、直线与平面所成的角，平面与平面的夹角.
2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题，体会向量方法与综合几何方
法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的作用，感悟向量是研
究几何问题的有效工具.
知识点 空间角
设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则
空间图形 范围 向量法 几何法
异面直线所 成的角 , _____ 平移交于一点，解三
角形
直线与平面 所成的角 _____ _____ _____ , _ _____ 过直线上一点作平面
的垂线，解三角形
空间图形 范围 向量法 几何法
平面与平面 的夹角 _____ _____ _____ , _ ______ 作两平面的垂线，解
三角形
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )
×
[解析] 当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相
等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误.
（2）若平面 的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面 所成的角为 ,
则 .( )
×
[解析] ，故错误.
（3）二面角的大小等于平面与平面的夹角.( )
×
[解析] 二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角.故错误.
探究点一 异面直线所成角的求法
例1 如图所示，在三棱柱中， 是
正三角形，点在平面上的射影为的中点 ，侧
面是边长为2的菱形，求异面直线与 所成
角的余弦值.
解：如图，连接，，因为点在平面上的射影为的中点 ，
所以 平面，又 平面， 平面，所以 ，
.
因为是正三角形，是的中点，所以 .
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，， ,所以
， .
设异面直线与所成的角为 ，
则，即异面直线 与
所成角的余弦值为 .
变式 [2024·重庆巴渝学校高二期中] 如图，在四棱锥
中， 底面，底面 为正方
形，，为上一点，且 ，则异
面直线与 所成的角的大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 以点D为坐标原点，，， 所在直线
分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，则，，， ，
所以， ，所以
, ，所以异面直
线与所成的角的大小为 .故选B.
［素养小结］
用向量法求异面直线所成的角时，常在两异面直线与上分别取点，和 ，
，则与分别为直线，的方向向量，若异面直线,所成的角为 ，则
.
运用向量法常有两种途径：
①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题型中，经常采用取基底的方法.
在由公式，求向量，的夹角时，关键是求出，与 ，
一般是把， 用基向量表示出来，再求有关的量.
②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利
用坐标法求异面直线所成的角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简
单.
探究点二 求直线和平面所成的角
例2 [2024·浙江浙南名校联盟高二期中] 已知三棱
柱满足 ，
， ，顶点 在平面
上的射影为点 .
（1）证明： 平面 ;
解：证明：由已知得 平面，又 平面，所以 ，
因为 ，所以，又因为 ，
, 平面，所以 平面 .
（2）若点为的中点，点为的中点，求直线与平面 所成角的
正弦值.
解：因为 平面， 平面，所以.在
中， ，所以 ，故 .
如图，以为原点，，所在直线分别为轴， 轴，过点
且与平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则，， ，
， ，
所以， .
设平面的法向量为 ，
则即
令，得，，所以平面的一个法向量为 .
设直线与平面所成的角为 ，
又，则 ，所以直线
与平面所成角的正弦值为 .
变式 如图，在四棱锥 中，
， ， ，底面
是菱形，是的中点， .
（1）证明：平面 平面 ；
解：证明：如图，连接 ，
底面 是菱形，
且 ， 是等边三角形，
又是的中点， .
， .
，, 平面， 平面 ，
又 平面， 平面 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值．
解：, ,， .
底面是菱形，是的中点， ，
，又，，即 .
由（1）知，，， 以为原点，,,
所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，， ，
，，. 设 是平面
的法向量，
则取，得 .
设直线与平面所成的角为 ，
则 ，
直线与平面所成角的正弦值为 ．
［素养小结］
向量法求直线与平面所成的角的步骤:
①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;
②求出直线的方向向量和平面的法向量 ;
③求出夹角, ;
④判断直线和平面所成的角 和,的关系,求出角 .
拓展 如图，在四棱锥中，侧面 底面 ，侧棱
，底面为直角梯形，其中， ，
， ．
（1）求证：平面 .
证明：连接交于，连接，如图. ，
， ，
，， .
又 平面， 平面，平面 .
（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为 ？若存
在，求出线段 的长度；若不存在，请说明理由．
解：假设在棱上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为 ，设
.
取的中点，连接，，，，又 侧面 底面
，侧面 底面， 侧面， 底面 .
，，，为中点， 四边形 为
矩形， .
以为坐标原点，，，所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
则，，，，，则 ，
.
设平面的法向量为 ，
则令，则， ，
平面的一个法向量为 .
，，又 ，
.
设与平面所成的角为 ，
则，，解得或 .
当时， ；
当时， .
故棱上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且 或
．
探究点三 求平面与平面的夹角
例3 如图，在直三棱柱中， 是边
长为2的正三角形，为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
解：证明：是正三角形，为 的中点，
，
在直三棱柱中，可得 平面 ，
又 平面， .
又,, 平面 ,
平面 .
（2）若，求平面与平面 夹角的余弦值.
解：设的中点为，连接，易知, ,
两两垂直，以为坐标原点，,， 所在直
线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图.
是边长为2的正三角形，
，则,, ,
，,, , .
设平面的法向量为 ,
则即
取,则,,故,, .
设平面的法向量为 ,
则即
取,则,,故 .
设平面与平面的夹角为 ,则 ,
,
故平面与平面夹角的余弦值为 .
变式 如图所示，在三棱锥中， 为等腰直角三角形，
，为正三角形， .
（1）证明： ；
证明：取的中点，连接， ，如图所示.
为等腰直角三角形，
，又为正三角形， .
， 平面， 平面 ，
平面 .
平面， .
（2）若平面 平面，求平面与平面 的夹角的余弦值.
解： 平面 平面，平面 平面，
平面， ，
平面.以为坐标原点，， ，
所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，则， ，
，， ，
， ， .
设为平面 的法向量，
则即取，得， 平面 的一
个法向量为 .
易知是平面的一个法向量，
设平面与平面 的夹角为 ，,，
, ，
平面与平面的夹角的余弦值为 .
［素养小结］
设,分别是平面 ， 的法向量，则向量与 的夹角（或其补角）就是
两个平面的夹角 ，用坐标法的解题步骤如下：
（1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；
（2）求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个平面的法向量， ；
（3）计算： .
若直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则有
（1）线线夹角:若异面直线,的夹角为,则 ;
（2）线面角:若与 所成的角为,则 ;
（3）面面夹角:若 与 的夹角为,则 .
注意:空间两条直线夹角的取值范围与空间两个向量夹角的取值范围不同.二面角
的大小是指两个半平面的张开程度,可以用其平面角 的大小来度量,它的取值范
围为,平面与平面的夹角的取值范围为 .
用空间向量求空间角的过程基本上程序化,求解形式直观，相比传统几何方法具
有优越性.因此,我们应该熟练灵活地应用向量这一工具,快而准地解决立体几何
中有关角的问题.
例1 如图所示,在棱长为的正方体中,,分别是, 的
中点.
解：如图，以为原点,,, 所在
直线分别为轴、轴、 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系.
（1）求异面直线与 所成角的余弦值;
解：易知,,,, ,
,
, ,
故异面直线与所成角的余弦值为 .
（2）求直线与平面 所成角的余弦值;
解：由已知得, ,
,则, .
设平面的法向量为 ,
由得令，则平面 的一个法向量为
.
设直线与平面所成的角为，易知 ,则
,, ,
故直线与平面所成角的余弦值为 .
（3）求平面与平面 夹角的余弦值.
解：由（2）知，平面的一个法向量为,易知平面 的一
个法向量为, ,
平面与平面夹角的余弦值为 .
例2 如图，在四棱锥中，底面 是一个
直角梯形，其中 ，， 底面
，，，点和点 分别
为和 的中点.
（1）证明：直线平面 ；
证明：以为原点，的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，的方向为 轴正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则,,,, ,
所以， ，
.
设平面的法向量为 ，
则即
取，则 ,
所以，又 平面 ，
所以直线平面 .
（2）求直线与平面 所成角的余弦值；
解：，所以，， ，
设平面的法向量为 ，
则即取，则 .
设直线与平面所成的角为 ，
则 ，
所以 ，
所以直线与平面所成角的余弦值为 .
（3）求平面与平面 的夹角的正弦值.
解：设平面的法向量为 ，
则即
取，得 .
设平面与平面的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
所以平面与平面的夹角的正弦值为 .
例3 [2023· 新课标Ⅰ卷] 如图，在正四棱柱
中，，.点，, ，
分别在棱，，，上， ，
， .
（1）证明： ；
①
解：证明：方法一：如图①，作交于 ，
交于，连接，易知 ，且
，所以四边形 是平行四边形，所以
.因为， ，所以四边形
是平行四边形，所以 ，所以
.
方法二：因为
， ,
,,四点不共线，所以 .
（2）点在棱上，当二面角为 时，求 .
②
解：方法一：如图②，以为原点，以,, 所在
直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，则
，，，设 ，
则， ，
.
设,分别为平面, 的法向量，
则取，得，同理 .
由题得,，整理得 ，
解得或，则 .
③
方法二：如图③，连接，易证四边形 为菱形，
连接，设与相交于点 .
因为二面角为 ，所以直线 与平面
所成的角为 ，
易知，所以点到平面 的距离
.
连接，，，， ，由
，得 ，
由，得 ，
又，所以 平面.因为二面角为，
所以与平面所成的角为 ，易知 ，
所以点到平面的距离.所以 .
又到平面和平面的距离都为2（平面和平面 为同一
个平面），
所以，所以，解得 .