1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-第2课时课件(共33张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共33张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
◆课前预习
◆课中探究
◆备课素材
◆练习册
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平
面与平面的平行.
2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题，体会向量方法与综合几
何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的作用，感悟向量
是研究几何问题的有效工具.
知识点 用空间向量描述空间线面的平行关系
设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别为， ，则
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线线平行 与 ________
，使得
_____
线面平行 与 ________
___
0
平行关系 对应线面 图形 满足条件
面面平行 与 ________
，使得
_____
续表
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
√
[解析] 若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量的方向相同
或相反.
（2）若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平
行.( )
√
[解析] 由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向
量垂直,则该直线与平面平行.
（3）若两条不同直线,的方向向量分别为, ,则
.( )
√
[解析] 因为,所以 .
（4）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.( )
√
[解析] 若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.故正确.
探究点一 空间向量与平行关系
例1（1） 已知直线的一个方向向量，平面 的一个法向量
，则直线与平面 的位置关系是( )
D
A. B. C. D. 或
[解析] 直线的一个方向向量，平面 的一个法向量
，， 或 ．故选D.
（2）已知向量，平面 的一个法向量，若 ，
则( )
C
A.， B.,
C. D.
[解析] 因为 ，所以，则 ，故选C.
（3）设向量 ,分别是平面 , 的法向量，向量 ,
，若 , 平行，则实数 ___.
4
[解析] ， 平面 ， 的法向量互相平行， ，
且，解得， .
变式 （多选题）[2024·嘉兴八校高二期中] 下列结论中正确的是( )
ACD
A.若直线的一个方向向量是，直线 的一个方向向量是
，且两条直线不重合，则
B.若直线的一个方向向量是，平面 的一个法向量是 ，
则
C.若平面 , 是空间中两个不同的平面，且平面 的一个法向量是
，平面 的一个法向量是，则
D.若平面 经过三点，，，向量 是平
面 的一个法向量，则
[解析] 因为，，所以，所以, 共线，又直
线，不重合，所以，故A正确；
因为直线 的一个方向向量是，平面 的一个法向量是，
且，所以 ，故B不正确；
因为，，所以，所以 ，故C正确；
因为平面 经过三点，， ，所以,
,又向量是平面 的一个法向量，所以
所以则解得则 ，故D正
确.故选 .
探究点二 利用空间向量证明平行关系
例2 [2024·福州高二期中] 如图，在四棱锥 中，
底面为直角梯形，其中， ,
,, 平面，且，点
在棱上，且，为 的中点.证明：直线
平面 .
证明：如图所示，以为原点，，,所在直线分别为, ,
轴,建立空间直角坐标系，则，, ，
，所以 ，
因为 平面， 平面，所以 ，
又因为，，, 平面 ，所以
平面，所以平面的一个法向量为 .
又，所以 ，
又 平面，所以平面 .
变式 如图所示，四边形为矩形， 平面，， ，
，分别是，， 的中点．求证：
（1）平面 ；
证明：如图所示，以为原点，以，， 所在
直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，
设,,则， ，
，，，
因为，， 分别是，， 的中点，
所以，， ，
所以，易知平面 的一个法向量为，
所以，即 .
又 平面，所以平面 .
（2）平面平面 .
解：因为，所以，所以 ，
又 平面，所以平面 .
又，， 平面，所以平面平面 .
［素养小结］
证明线、面平行问题的方法：
（1）用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共
线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向
量表示,且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线
不在平面内.
（2）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
拓展 如图，在多面体中，平面
平面，四边形为正方形，四边形
为梯形，且， 是边长为1的等边三角
解：存在，理由如下：
平面 平面，四边形 为正方形，
平面 .
过点作于点 .
形，.线段上是否存在点（不包括端点），使得直线平面 ？若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则 ，
， ，
，，， ，
，， ，
设 ,，则 ，
则 ，
设是平面 的法向量，
则即
取，则，是平面
的一个法向量，
由，得，符合题意，即存在点 ，使得直线
平面，此时 .
空间平行关系的向量表示
（1）线线平行
设直线,的方向向量分别为, ,则
，使得,, .
（2）线面平行
设直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，
,则 .
（3）面面平行
设平面 , 的法向量分别为, ,则
，使得,, .
空间平行关系的解题策略
几何法 向量法
线线 平行 对于直线，,和平面 ， ， （1）若,,则 ; （2）若 ， ，则 ; （3）若 , ,,则 若直线， 的方向向量
共线，则
线面 平行 对于直线,和平面 ， （1）若 ，， ，则 ； （2）若 ， ，，则 若直线 的方向向量与平
面 的法向量垂直且
，则
几何法 向量法
面面 平行 对于直线，和平面 ， ， （1）若 ， ， ， ， 且，则 ； （2）若 ， ，则 若平面 ， 的法向量
共线，则
续表
例1 已知空间中两个有一条公共边的正方形与正方形,设, 分
别是,的中点,给出如下结论:;平面; ;
, 为异面直线.其中所有正确结论的序号为________.
①②③
[解析] 如图所示,设,, ,则
且.连接，则为
的中点，可得
,
则 ,故
，故①正确.,故, 又 平面， 平
面，所以平面 ,故②③正确,④不正确.
例2 [2024·湖北孝感一中高二期中] 如图，在四棱锥
中，底面是正方形， 平面 ,
,是 的中点.
（1）证明：平面 .
解：证明：以为坐标原点，,,的方向分别为 轴、
轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
连接，交于，连接 .
设，依题意得,, .因为底面
是正方形，
所以是此正方形的中心，故点的坐标为 ，
所以, ，
则，所以，故.又 平面 ,
平面 ，
所以平面 .
（2）若点在棱上，且，为棱上一点，试问当 在何位置
时，满足平面 ？
解：因为，所以,又， ，所以
, .
设平面的法向量为 ，
则即令，则,，故 .
因为,，，所以， ，
设 ，
则,又因为平面 ，
所以，即，解得 ，
所以当点为棱的中点时，满足平面 .
例3 如图，在平面内，四边形是边长为2的正方形，四边形 和四
边形都是正方形．将两个正方形分别沿,折起，使与 重合于点
，设直线过点且垂直于正方形所在的平面，点是直线 上的一个动
点，且与点位于平面同侧，设 .
当时，在线段上是否存在点，使平面平面 ？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由.
解：以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐
标系，则，，，，， ，
假设存在满足题意的点 ，
设,则 ，
解得，，，即 ，
所以 .
设平面的法向量为，， ，
， ，
即解得
令，则，所以 .
由平面平面，得平面 ，
所以，即，可得 ，
所以在线段上存在点，使平面平面 ，
此时 .