1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-第3课时课件(共37张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共37张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平
面与平面的垂直.
2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题，体会向量方法与综合几何方
法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的作用，感悟向量是研
究几何问题的有效工具.
知识点 用空间向量描述空间线面的垂直关系
设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别为， ，则
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线线垂直 与 ________
___________
线面垂直 与 ________
，使得_____
_______
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
面面垂直 与 ________
___________
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.( )
√
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直. ( )
√
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( )
√
（4）若直线,的方向向量分别为,,则 .( )
√
探究点一 空间向量与垂直关系
例1（1） 已知两平面 ， 的法向量分别为， ，
则平面 ， 的位置关系为______.
[解析] 由，得 .
（2）已知点,,,,若 平面,则点
的坐标为_________.
[解析] 由题意得,,.设平面 的
法向量为,由得令,则平面 的一
个法向量为.
因为 平面，所以,即存在实数 ,使得
,即解得故 .
变式 [2024·广东东莞厚街中学高二月考]如图，在正方
体中，当点在线段 上运动时，下
列结论正确的是( )
A
A.与 始终垂直
B.与 始终异面
C.与平面 可能垂直
D.与 可能平行
[解析] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方
体的棱长为1，则，，， ，
，设 ，故
，， ，
，所以 ，即
，故A正确；
显然当点在上运动的过程中,可能与 相交，故B错误；
若 平面 ，则显然不存在满足该方程组的 值，
故C错误；
若且，则 显然不存在满足该方程组的 值，
故D错误.故选A.
［素养小结］
在探究空间的垂直关系时，通常的做法是看到直线找直线的方向向量，看到平
面找平面的法向量，然后通过向量的运算得到直线的方向向量与直线的方向向
量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关
系，从而确定线面之间的关系.
探究点二 利用空间向量证明垂直关系
例2 如图，平行六面体 的底面
是边长为1的菱形， ，且
．
（1）求证： .
解：证明： 四边形 是边长为1的菱形，
，
，
，即 .
（2）当为何值时，直线与平面 垂直？并给出证明.
解：当时，直线与平面 垂直．证明如下：
，
，即.当时，同理可证， 平面
, 平面,， 平面 .
（3）在（2）的条件下，求 的长度．
解：， ，
，
，即的长度为 ．
例3 如图，正方形所在的平面和等腰梯形 所在的平面互相垂直，
已知， .
（1）求证： .
证明： 平面 平面，平面 平面 ，
， 平面， 平面 .
平面，.过作于 ，如图，
则，，， ，
， .
，， 平面， 平面 .
平面， .
（2）在线段上是否存在一点，使得平面 平面 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
解：存在满足题意的点 ，理由如下：
由（1）知，，，两两垂直．以 为坐标原点，
，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系 ，
则，，， ．
假设在线段上存在一点满足题意，则易知点不与点， 重合，设
，则 .
设平面的法向量为 ．
， ，可得
即取，则 ，
为平面 的一个法向量．
同理可得为平面 的一个法向量．
当，即时，平面 平面，故存在满足题意的点 ，此
时 .
变式 如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面 都
是正方形且互相垂直，为的中点，为 的中点.求证：
（1）平面 ；
证明：由题意知,,两两垂直，以 为坐标原点，
分别以,,所在直线为轴、轴、 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系.
设正方形的边长为2，则， ，
，，，， .
由题意知， ，又因为
，, 平面，所以 平面 .
因为，，所以，即 .
又因为 平面，所以平面 .
（2）平面 平面 .
解：设平面与平面的法向量分别为 ，
，，可得 即
令，则平面的一个法向量为 .
， ，
可得即
令，则平面的一个法向量为 .
因为，所以，所以平面
平面 .
［素养小结］
（1）用向量法证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面内的两条相
交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
（2）证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线
垂直去证明；②证明两个平面的法向量互相垂直.
拓展 如图①，在边长为2的菱形中， ,，垂足为 ，
将沿折起到的位置，使 ，如图②.
①
②
（1）求证： 平面 .
证明：， ，
又,, 平面, 平面， 平
面 .
平面， ，
又,, 平面, 平面， 平面
.
（2）在线段上是否存在点，使平面 平面？若存在，求 的
值；若不存在，说明理由.
解：存在，理由如下：
平面, ，
以为原点，分别以,,所在直线为,, 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,, .
假设在线段上存在一点，使得平面 平面
，设, ，
则， ，
, ，
设平面的法向量为 ，
由得
令 ，得 .
设平面的法向量为 ，
, ，
故取，得 .
平面 平面， ，
解得，满足， 在线段上存在点，使得平面 平面
，且 .
空间垂直关系的向量表示
（1）线线垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为 ，则
.
（2）线面垂直
设直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，则
,, .
（3）面面垂直
若平面 的法向量为，平面 的法向量为 ，则
.
空间垂直关系的解题策略
几何法 向量法
线线 垂直 （1）证明两直线所成的角为 ； （2）若直线与平面垂直，则此直线与 平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 对于直线，，和平面 ， （1）若，， ， ，与相交，则 ； （2）若， ，则 （1）证明直线的方向向量分别
与平面内两条相交直线的方向
向量垂直；
（2）证明直线的方向向量与平
面的法向量平行
几何法 向量法
面面 垂直 对于直线，和平面 ， ， （1）若 ， ，则 ； （2）若 ， ， ，则 证明两个平面的法向量互相垂
直
续表
例1 如图，在正三棱柱中， ，
，，分别是棱， 上的点，
.证明：平面 平面 .
证明：分别取,的中点,，连接, ，
在正三棱柱中， 为正三角形，
所以.因为, 底面，所以
底面 .
以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立
空间直角坐标系，如图所示，
因为，且 ，
所以,,, ,
，
则,, ,
.
设平面的法向量为 ，
则即
令，则 .
设平面的法向量为 ，
则即
令，则 .
因为，所以 ，
所以平面 平面 .
例2 设点, 分别是棱长为2的正方体
的棱, 的中点．如图，以
为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、
轴、 轴，建立空间直角坐标系.
（1）求向量与 的数量积.
证明：由题可知，， ，
， ，
所以， ，
所以 ．
（2）若点,分别是与上的点（不包括端点），是否存在直线 ，使
得 平面？若存在，求点, 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在唯一的直线，使得 平面 ．证明如下：
若 平面，则与平面的法向量 平行，
所以设，，则， ．
因为点,分别是与上的点（不包括端点），所以 ，
，设， ，
则， ，
所以且解得
所以的坐标为，的坐标为 .