1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-第1课时课件(共36张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共36张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
【学习目标】
1.联系空间向量与立体几何，知道直线的方向向量和平面的法向量.
2.结合空间几何体，能求出有关直线的方向向量和平面的法向量.
3.在空间点的向量表示的基础上，能借助直线的方向向量和平面的法向量
来刻画直线和平面.
知识点 空间元素的向量表示
1.空间中点的向量表示
如图，在空间中,我们取一_______作为基点,那么空间中任意一点 就可以用向量
来表示.我们把向量称为点 的__________.
定点
位置向量
2.空间中直线的向量表示
确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用
是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线 上的任意一点 _____ 空间任意直线由直
线上一点及直线的
方向向量唯一确定
确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用
是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线上的任意一点， 是空间中的任意一点 __________ 空间任意直线由直
线上一点及直线的
方向向量唯一确定
续表
3.空间中平面的向量表示
确定平面的条件 图形表示 向量表示
两条直线相交于点 ，它们的 方向向量分别为,,为平面 内任意一点
P是平面内的任意一点， 是空间中的任意一点
确定平面的条件 图形表示 向量表示
给定点和平面 的法向量 ， 以及平面 内一点
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个方向向量. ( )
×
[解析] 当时，不是直线 的方向向量，故错误.
（2）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 . ( )
√
[解析] ， 与共线的非零向量都可以作为直线 的方向向量，
故正确.
（3）若向量, 为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一
定平行.( )
×
[解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误.
2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的
解：平面的法向量有无数个,它们是平行向量.
探究点一 确定空间中点的位置
例1 已知点，，在直线上取，
两点，位置如图所示，求满足下列条件的点和点 的
坐标.
（1） ；
解：由已知，得，即，则 .
设点的坐标为，则,即 ,
, ，
所以点的坐标为 .
（2） .
解：因为，所以 ，
所以，则 ，
设点的坐标为,则,所以点 的
坐标为 .
变式 已知点,,为线段上一点且,则点 的坐标为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设,为线段上一点且, ,即
,
因此点C的坐标为 .故选C.
［素养小结］
求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列
出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.
探究点二 求空间直线的方向向量
例2 如图所示，在平行六面体 中，
设，，，，， 分别是
，，的中点，以{，， }为空间的一
个基底.
（1）求直线 的一个方向向量；
解： ，
直线的一个方向向量为 .
（2）求直线 的一个方向向量；
解： ，
直线的一个方向向量为 .
（3）求直线 的一个方向向量.
解： ,
直线的一个方向向量为 .
变式（1） 若，在直线上，则直线 的一个方向向量为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 依题意，直线的一个方向向量为 ，分
析选项可知只有C符合题意，A,B,D均不符合题意.故选C.
（2）已知直线的一个方向向量，且直线过点 和点
，则 ( )
D
A.0 B.1 C. D.3
[解析] 连接，由题意得，因为直线 过点A和点B，且
直线的一个方向向量，所以，所以存在实数 ，使得
，即，即解得
所以 .故选D.
［素养小结］
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点，用所给的基向量表示以这两
个点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
探究点三 求平面的法向量
例3 如图，在长方体中， ，
， ，建立适当的空间直角坐标系，求下列
平面的一个法向量：
（1）平面 ；
解：以为原点，,,所在的直线分别为,, 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,, ,
，所以 .
因为 平面，所以为平面 的一个
法向量，所以平面的一个法向量为 .
（2）平面 ；
解：设平面的法向量为 ，
因为, ，
所以令，则 ，
所以平面的一个法向量为 .
（3）平面 .
解：设平面的法向量为 ，
因为, ，
所以令，则 ，
所以平面的一个法向量为 .
变式1 已知,,，则下列向量是平面 法向量的是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为,,，所以, ，
设平面的法向量为，则可得 ，
经检验，仅 符合题意．故选C.
变式2 如图所示，在三棱柱 中，
,，,为 的中点，
平面 .建立适当的空间直角坐标系,分别求平
面与平面 的一个法向量.
解:连接，因为，为 的中点，
所以 .
又因为 平面，所以, ,
所以，， 两两垂直.
以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,, ,
所以, .
易知向量是平面 的一个法向量.
设平面的法向量为 ，
则即
取，则平面的一个法向量为 （, ,1）.
［素养小结］
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
①设向量：设平面的法向量为 .
②选向量：在平面内选取两个不共线向量， .
③列方程组：列出方程组 并解方程组.
④赋非零值：取其中一个为非零值（常取 ）,得到平面的一个法向量.
1.对平面的法向量的理解
（1）平面 的一个法向量垂直于平面 内所有直线的方向向量.
（2）一个平面的法向量有无数个,它们互相平行.
2.直线的方向向量和平面的法向量的作用
（1）可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂
直等位置关系.
（2）可以利用它们求直线与平面所成的角.
（3）可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题.
1.求法向量的关键是转化为空间向量的数量积运算.
例1 已知平面 经过点，,，则平面 的一个法
向量是______________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为，,，所以 ，
，
设平面 的法向量为，则 即
解得,，令，则，可得平面 的一个法向量为 .
2.求平面法向量的三个注意点.
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.
（2）取特值：在求法向量的坐标时，可令，， 中的一个为特殊
值即可求得另两个值，这样就得到了平面的一个法向量.
（3）注意0：令法向量 的某个坐标为某特殊值时一定要注意这个坐
标不为0.
例2 如图，平面 平面， 是边长
为1的正三角形，四边形 是菱形，
，是的中点，是 的中点，试建
立恰当的空间直角坐标系，求平面 的一个法向量.
解：连接，因为，为的中点，所以 ，
又因为平面 平面，平面 平面， 平面 ，
所以 平面.连接，，因为， ，
所以是等边三角形，所以 .
以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得，， ，
所以， .
设平面的法向量为 ，
则即 所以令，则， ，
所以平面的一个法向量为 .
例3 在四棱锥中，底面 是直角梯形，
， ， 平面 ，
， ，建立适当的空间直角坐标
系，并求平面和平面 的法向量．
解：因为 平面，, 平面 ，所以, ，
又 ，，所以 ，
所以以为原点，以，，的方向分别为轴、
轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，
则,,,.易知
是平面 的一个法向量．
，，
设平面 的法向量为 ，
则 取，得, ，
故是平面 的一个法向量．