1.1.2 空间向量的数量积运算课件(共40张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共40张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
【学习目标】
1.结合立体几何与空间向量的特征，知道投影向量的概念.
2.类比平面向量，能进行空间向量的数量积运算.
3.类比平面向量并借助空间图形，知道空间向量的有关运算律，能运用数
量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
知识点一 空间向量的夹角
1.概念：如图,已知两个非零向量,,在空间任取一点,作, ,则
叫作向量, 的______,记作______.
夹角
2.夹角的取值范围：与的夹角的取值范围是______,其中当,时,与
方向______;当, 时,与方向______;当,时,与 __________.反
之,若,则,或 ;若,则, .
相同
相反
互相垂直
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( )
×
[解析] ,表示向量,的夹角,,表示向量, 的夹角，它们之
间的关系为,, .
（2）若向量与的夹角为 ,则直线与所成的角也为 .( )
×
[解析] 若向量与的夹角为 ，则直线与所成的角为 或 .
知识点二 数量积的相关概念及性质
1.概念:已知两个非零向量,,则______________叫作,的数量积,记作 ,即
______________.
特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
2.空间向量数量积的性质
（1） ___.
（2）, _____.
（3）, _____.
0
3.投影向量的概念
作法 图形表示 符号表示
向量 在向量 上的投影向 量 将向量，(直线 平移到同一个平面 内，利用平面上 向量的投影,得到与 向量（直线 的方 向向量）共线的向 量 ______________
向量在直线 上的投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量 在平面 上的投影向 量 分别由向量 的起 点和终点 作平面 的垂线,垂足分别 为, ,得到向量
注：向量,的夹角就是向量所在直线与平面 所成的角.
续表
4.空间向量数量积的运算律
（1）________, .
（2） _____（交换律）.
（3） ___________（分配律）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于向量,,若,则一定有或 .( )
×
[解析] 非零向量,垂直时也有 .
（2）对于非零向量,由,可得 .( )
×
[解析] 向量的数量积运算不满足消去律.
（3）若,则, 是钝角.( )
×
[解析] 若,则,是钝角或, .
（4）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上的投影向量
为 .( )
√
[解析] 向量在向量上的投影向量为
探究点一 空间向量的数量积运算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体 中，
，分别是， 的中点，求：
（1） ；
解： .
（2） ；
[答案] .
（3） ；
[答案] .
（4） .
[答案]
变式（1） （多选题）设正方体的棱长为 ,则有( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] ,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误.故选 .
（2）正四面体的棱长为2，点是的重心，则 ____.
[解析] 点是的重心,,又正四面体 的棱长
为2， .
［素养小结］
（1）空间向量数量积运算的两种方法:
①已知，的模及与 的夹角，直接代入数量积公式计算.
②如果要求的是关于与 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律
将多项式展开，再利用 及数量积公式进行计算.
（2）在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入, 求解.
探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题
例2 如图所示,在正方体 中.
（1）求与 的夹角；
解：不妨设正方体 的棱长为1,
则 .
,
, .
又,,, ,
即与的夹角为 .
（2）求异面直线与 所成角的大小.
[答案] 由异面直线所成角的范围和（1）得，异面直线与 所成角的大小为
.
变式（1） 已知，是异面直线，，，，， ，
，且，，则与 所成的角是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，
，
又，，， ，又异面直线所成
的角是锐角或直角，与所成的角是 .
（2）已知 平面，且是以 为底边的等腰直角三角形，
和的对角线都分别相互垂直，求异面直线与 所成角
的大小．
解：由题意知和均为正方形，设 ，因为
， ，所以
，
由题意知，， ，
所以，, ，
又因为，所以 ，
所以， .
又因为，，所以， ，又因为异面直线所成的角是
锐角或直角，所以异面直线与所成的角为 .
［素养小结］
（1）求两个空间向量的夹角的两种方法:
①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围.
②先求,再利用公式,求,,最后确定, .
（2）用向量法求两直线的夹角：
①取向量:在两直线上分别取方向向量, ;
②运算:求, ;
③结论:设两直线的夹角为 ,则,,进而得到 .
探究点三 利用向量的数量积解决长度问题
例3 已知线段在平面 内，线段 ，线段，且与 所成的角
是 ，如果，，求， 间的距离．
解：由 ， 平面 ，得.如图，过点
作 于点 ，
连接，，则 ，
所以
，故 .
变式（1） 如图，在四棱锥中，底面 是边
长为1的正方形，侧棱的长为2，且与， 的夹角
都是 ，若是的中点，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 是 的中点，
，又
， ，,, ，
．故选A.
（2）如图,在平行四边形中,, ,沿着它的对角线
将折起,使与所成的角为 ,求此时, 间的距离.
解：因为 ，所以 ，同理， .
因为与所成的角为 ，所以, 或 .
连接因为
所以 .
若 ,则，此时 ；
若, ,则，此时 .
综上，，间的距离为2或 .
［素养小结］
求两点间的距离或线段的长度的步骤:
（1）将两点间的连线（或此线段）用向量表示;
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
（3）利用,计算出 ,即得所求距离或长度.
探究点四 利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题
例4 如图，在正方体中，与 相交于点
，求证：
（1） ；
证明：因为 ，
，
所以
，所以，故 .
（2） 平面 .
[答案] ，由题意可知
，
，所以
，所以，所以 .同理可证，
.
又平面， 平面 ，
所以平面 .
变式 如图，在四棱锥中， 平面，四边形 为正方
形，，，分别是，的中点.证明：平面 平面 .
证明：设,,,则,,, .
, ,
,
,, .
又， 平面， 平面 ，
平面，又 平面 ，
平面 平面 .
拓展 写出命题“如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面上的
射影垂直,那么它也和这条斜线垂直”的逆命题,判断逆命题的真假,并用向量法证明.
解：命题的逆命题为“如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么
它也和这条斜线在这个平面上的射影垂直”.该命题为真命题.
证明如下：
如图， ， ，为一条斜线， .取直
线的方向向量,同时取向量，， .
因为,所以 .
又因为 ,且 ,所以,所以 ，
所以 ，
所以，即 .
1.向量的数量积运算不满足结合律，即.事实上 表
示与平行的向量,而表示与 平行的向量.
2.向量夹角的取值范围为 .当夹角为锐角时，其余弦值为正,当夹角为钝角时，
其余弦值为负.
3.通过学习,我们可以利用向量的数量积解决立体几何中的以下问题:求两直线所
成角的余弦值，求两点之间的距离或线段的长度，证明线面垂直等.
1.求解空间向量的数量积通常先确定两向量的夹角,再结合数量积公式求解.若两
向量夹角不易确定，可结合空间向量的线性运算转化为已知夹角的向量间的数
量积问题再求解.
例1 （多选题）[2024·广东湛江一中高二期中] 如图，在
四棱锥中， 底面，四边形 是
边长为1的菱形，且 ， ，则
( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 因为 底面，所以垂直于平面 内的任何一条直线，因
为四边形是边长为1的菱形，且 ，所以和 是等
边三角形.对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确.故选 .
2.求解空间两点的距离问题,先选择以两点为端点的向量，再将此向量表示为几
个向量和的形式，然后求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，最
后利用公式 求解.
例2 如图所示,已知二面角 的大小为 ,点
,,为垂足,点 ,, 为垂足,且
,,,则线段 的长为( )
B
A.4 B. C. D.
[解析] ,
, ,即线段 的长为
.故选B.
3.证明空间直线垂直问题,一般求出相关直线的一个方向向量,再根据两向量的数
量积为零证明.
例3 如图所示，已知在四面体中，和都是以 为直角顶
点的直角三角形，且， .求证： 平面 .
证明：不妨设，则 .
，
且 ，
，，即 ，
又由题意易知，且， 平面， 平面 ，
平面 .