1.1.1空间向量及其线性运算课件(共45张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共45张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
【学习目标】
1.类比平面向量，能直接获得空间向量的概念，以及零向量、单位向量、
相反向量、共线向量、相等向量的概念.
2.结合立体几何与空间向量的特征，知道共面向量的概念.
3.在平面向量的基础上，能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向
量的加减运算.
4.类比平面向量，能进行空间向量的数乘运算.
知识点一 空间向量及有关概念
1.在空间，把具有______和______的量叫作空间向量，空间向量的大小叫作空
间向量的______或____.
空间向量用字母,,， 表示，也用有向线段表示，有向线段的______表示
空间向量的模，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作 ，其模记
为____或_____.
大小
方向
长度
模
长度
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫作________，记为0
单位向量 _______的向量叫作单位向量
相反向量 与向量长度______而方向______的向量，叫作 的相反向量，记
为____
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线
________________，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量，都有0___
相等向量 方向______且模______的向量叫作相等向量.在空间，______且
______的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
模为1
相等
相反
互相平行或重合
平行
//
相同
相等
同向
等长
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）零向量是没有方向的.( )
×
[解析] 零向量也是有方向的，只是方向是任意的.
（2）两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同.( )
√
[解析] 相等向量，如果起点相同，那么终点必相同.
（3）空间中方向相反的两个向量是相反向量.( )
×
[解析] 相反向量不仅要求方向相反，而且要求模也必须相等.
（4）平面内所有单位向量都是相等的.( )
×
[解析] 平面内所有单位向量的长度都相等，但其方向不一定相同.
知识点二 空间向量的线性运算
1.空间向量的自由性
任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个
___________的运算就可以转化为__________的运算.
空间向量
平面向量
2.空间向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量____ 的运算 _______________________________________ ________法则 __________________________________________ ____________法则 （1）加法交换律:
______;
（2）加法结合律:
___________
和
三角形
平行四边形
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
减法 减去一个向量相 当于加上这个向 量的__________ ___________________________________ ________法则 _________
数乘 实数 与向量 的积是一个 _______,这种运 算叫作向量的 ___________,记 作____ ______. （2）当时,与 的 方向______;当时, 与 的方向______;当 时, ___ （1）对向量加法的分配
律:
________；
（2）对实数加法的分配
律:
________
相反向量
三角形
向量
数乘运算
相同
相反
0
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2）有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.( )
√
（3）若，则 .( )
√
2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平面向量加、
减法的运算律在空间向量中还适用吗
解：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意
两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减
法运算与平面向量的加、减法运算相同.
平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三 空间向量共线与共面的充要条件
1.空间两向量共线的充要条件
对任意两个空间向量,,的充要条件是存在实数 ,使________.
2.空间直线的确定
（1）直线的方向向量的定义
在直线上取___________,把与向量______的非零向量称为直线 的方向向量.
非零向量
平行
（2）空间直线的确定
空间直线可以由其上一点和它的__________确定.
方向向量
3.共面向量的定义
（1）向量与直线平行如果表示向量的有向线段所在的直线与直线
______或______，那么称向量平行于直线 .
平行
重合
（2）向量与平面平行
如果表示向量的有向线段所在的直线 _____________或____________，
那么称向量平行于平面 .
平行于平面
在平面 内
（3）共面向量
平行于同一个平面的向量,叫作__________.
共面向量
4.共面向量定理
如果两个向量，不共线,那么向量与向量， 共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对 ,使____________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于向量,,,若存在,，使得成立,则向量与, 共面.
( )
√
[解析] 若存在,，使得成立,则与, 一定共面.
（2）若向量与向量,共面,则存在,，使得 成立.( )
×
[解析] 当,共线,而与,不共线时,不存在,,使得 成立.
（3）若,则,,, 共面.( )
√
[解析] 若,则与,共面,又因为，， 有公共
点，所以,,, 共面.
（4）若,,,共面,则 .( )
×
[解析] 当,共线,而与,不共线时, 不成立.
探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1（1） （多选题）给出下列四个说法,其中正确的是( )
CD
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量,满足,则
C.在正方体中,必有
D.若空间向量,,满足,,则
[解析] 对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但
两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同，故A错误;
对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要
相同,但B中向量 与 的方向不一定相同，故B错误;
对于C,根据正方体的性质,在正方体中,向量与
向量的方向相同,模也相等,则 ，故C正确;
对于D,由相等向量的定义可知，故D正确.故选 .
（2）如图所示,在长方体中,,, ,以该长
方体八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有___个,模为 的所
有向量为_________________________________.
8
,,,,,,,
[解析] 因为,所以向量,,,,,,, 的模均为1,
又其他向量的模均不为1,故共有8个单位向量.长方体的左、右两个侧面的对角线长
均为,故模为的所有向量为,,,,,,, .
变式 （多选题）在如图所示的平行六面体
中,下列各对向量是相反向量的是
( )
CD
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 与是相反向量，与是相反向量.故选 .
［素养小结］
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
（1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
（2）注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②单位向量的方向
虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，不一定是相等向
量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同.若两个向量的
模相等，方向相反，则它们为相反向量.
探究点二 空间向量的线性运算
例2（1） （多选题）如图所示,在正方体
中,下列各式中运算结果为 的有
( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A, ,故A符合题意;
对于B, ,故B符合题意;
对于C,
, 故C不符合题意;
对于D, ,故D符合题意. 故选 .
（2）如图，在三棱柱中，是棱 的中
点，.设，， ，试用向量
，，表示向量和 .
解：连接，，则 ，
，
因为是棱 的中点，所以
.
因为，所以 ,
则 .
变式（1） [2024·武汉二中月考]如图，在三棱柱
中，是的中点，为 的重心，
则 ( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 设为的中点，连接,,，则在 上，由题意可得
.
故选A.
（2）若,,, 为空间中不同的四个点，则下列各式中运算结果不一定为零向
量的是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 对于A ,故A中结果不一定为零向量；
对于B， ，故B中结果为零向量；
对于C， ，故C中结果为零向量；
对于D， ，故D中结果为零向量.故选A.
［素养小结］
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量
的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.
探究点三 空间向量的共线、共面问题
例3（1） 已知空间向量,,且,, ,则
一定共线的三个点是( )
A
A.,, B.,, C.,, D.,,
[解析] 由题意得
,又因为与 有公共点B,所以A,B,D三点一定共线.
（2）若非零空间向量,不共线,则使与共线的 的
值为____.
[解析] 若与共线,则存在实数 ,
使得,
又非零空间向量， 不共线，所以所以 .
变式 如图所示,四边形与四边形都是平行四边形且不共面,, 分
别是,的中点,判断与 是否共线.
解：,分别是, 的中点,
，
又 ,
,
,
,即与 共线.
例4 如图，已知是平面四边形所在平面外一点，连接，， ，
，点，，，分别为，，， 的重心，求
证：，，， 四点共面．
证明：如图，连接，，， 并延长，分别交
，，，于点，，， ，
则，，，分别为所在边的中点，作四边形 ，
则该四边形为平行四边形，
连接，，， .易知， ，
， ，
所以
，
所以与，共面，又因为它们有公共点 ,
所以，，， 四点共面．
变式 已知,,三点不共线,点满足 .
（1）,, 三个向量是否共面
解：由题意知 ,
,,
向量,, 共面.
（2）点是否在平面 内
解： 由（1）知向量,, 共面,
它们有共同的起点,且,, 三点不共线,
,,,四点共面,即点在平面 内.
［素养小结］
（1）证明空间向量共线的方法:证明空间向量, 共线的关键是利用已知条件找
到实数 ，使 成立，在做题时要运用空间向量的运算法则，结合
空间图形，化简得出，从而得出 .
（2）证明空间三点共线的思路:对于空间三点，， ，可通过证明下列结论
来证明，， 三点共线.
①存在实数 ，使 成立.
②对空间任一点，有 .
（3）证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另两个向量的
线性组合,即若,则向量,, 共面.
（4）证明空间四点共面的思路:对于空间四点，，， ，可通过证明下列结
论来证明，，， 四点共面.
①存在实数,，使 成立；
②对空间任一点，有 ；
③对空间任一点，有 .
1.空间向量的概念
（1）两向量的关系:空间向量是具有大小和方向的量,两个向量之间只有等与不
等之分，但不能比较大小，向量的模能比较大小.
（2）有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是
向量的一种表示方法.
（3）相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
（4）向量的平移:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平
面内的两个向量.
（5）方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量.一条
直线的方向向量有无数个,它们的方向相同或相反.
2.共线向量
（1）类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义从本质上是一样的,平面共
线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.
（2）共线向量与直线平行的区别：直线平行一般不包括两直线重合的情况,若 ,
是两个共线向量,即,则说明表示向量, 的有向线段所在的直线既可以是
同一条直线,也可以是两条平行直线.
3.共面向量
（1）共面向量的充要条件给出了同一平面内向量的表示方法,说明空间中任意
一个平面内的向量都可以由两个不共线的平面向量表示出来.
（2）空间中一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对 ,使
.这说明满足这个关系式的点都在平面 内;反之,平面
内的任意一点 都满足这个关系式.
1.空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首尾相接”,结
果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法运算的技巧是
“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.
例1 如图所示，在三棱柱中，是 的
中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
（1） ；
解： ,如图①所示.
①
（2） ；
②
[答案] 因为是的中点，所以 ，
又 ，
所以 ,如图②所示.
（3） .
③
[答案] ，如图③所示.
2.在利用空间向量解决三点共线问题时，通常先通过线性运算表示两个向量，
然后通过判断两个向量是否共线得到结论.
例2 如图，在长方体中，为的中点，在 上，且
，为的中点.求证：,, 三点共线.
证明：连接,,,, （图略）.
设，， ，
则 ，
，所以 ，
故，， 三点共线.
3.共面问题的常用结论:设,,三点不共线,①四点,,,共面 存在有序实数
对,使;②四点,,,共面 对空间任意一点 ,都有
,且 .
例3 如图所示,在平行六面体 中,已
知,,分别是,,上的点,且 ,
,,求平面截体对角线
所得的线段与 的长度的比值.
解：设,由 ,
得,因为,,,四点共面,所以 ,
解得,故 .