1.2 空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.2 空间向量基本定理
【学习目标】
1.在平面向量基本定理的基础上，能借助投影进行向量分解，知道空间向
量基本定理.
2.知道基底、单位正交基底，并能在选定基底下进行向量的表示及运算.
知识点一 空间向量基本定理
1.分向量
如果，，是空间三个__________的向量，那么对任意一个空间向量 ，存在
唯一的有序实数组，使得.称________分别为向量 在
，， 上的分向量.
两两垂直
,,
2.空间向量基本定理
如果三个向量,,________,那么对任意一个空间向量 ,存在______的有序实数
组 ,使得________________.
我们把{,,}叫作空间的一个______,,, 都叫作________.空间任意三个
________的向量都可以构成空间的一个基底.
不共面
唯一
基底
基向量
不共面
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( )
×
[解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.
（2）若{,,}为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( )
√
[解析] 若,,为空间的一个基底，则,,不共面，所以,, 全不是零向量.
（3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一定共线.( )
×
[解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个
基底,若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量, 与任何向量都
共面,故与 一定共线.
（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( )
×
[解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.
知识点二 空间向量正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为___，那么这个基
底叫作单位正交基底，常用_______表示.
两两垂直
1
{,,}
2.空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫作把空间向量进行正交分解.
两两垂直
探究点一 空间向量的基底
例1（1） 已知,,,为空间的四个点，且任意三点不共线， 为空间中一
点，下列可能使,, 构成空间的一个基底的关系式是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A,由，得 ,A,B,C四点
共面,则,,共面，故，， 不能构成空间的一个基底;
对于选项B,D,易知,,一定共面，故，， 不能构成空间的
一个基底.故选C.
（2）已知{，，是空间的一个基底，且 ，
，，试判断，， 能否构成空
间的一个基底．
解：假设，，共面，则存在实数 ， 使得 ，
即 .
,,}是空间的一个基底，，， 不共面，
此方程组无解，，， 不共面，
，， 能构成空间的一个基底．
变式（1） （多选题）设{,,是空间的一个基底，若 ，
， ，则下列向量可以构成空间的一个基底的是( )
BCD
A.,, B.,, C.,, D.,,
[解析] ，,,共面，故,, 不能构成空间的一个基底，故A错误；
假设,,共面，则存在 ,，使得 ，即
，所以 方程组无
解，所以假设不成立，即,,不共面，所以,, 可以构成空间的一个基底，故
B正确；
同理可得,,可以构成空间的一个基底，,, 也可以构成空间
的一个基底，故C，D正确.故选 .
（2）已知空间四点，，，，若，， }是空间的一个基底，则下
列说法不正确的是( )
B
A.，，， 四点不共线
B.，，， 四点共面，但不共线
C.，，， 四点不共面
D.，，， 四点中任意三点不共线
[解析] 因为，，}是空间的一个基底，所以非零向量，， 不
共面，即 ，A，B，C四点不共面，所以A，C，D中说法正确，B中说法错误.
故选B.
［素养小结］
基底的判断思路：判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向
量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否
共面.如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条
件建立方程，若方程的解唯一，则三个向量共面；否则，三个向量不共面.
探究点二 用基底表示空间向量
例2 如图所示，在四面体中，， 分别是
，的中点，，是 的两个三等分点
（点靠近点，点靠近点 ）．
（1）用基底，，}表示向量 ；
解：连接 ,则
.
（2）若，求实数，， 的值．
解： 由题意得为的中点， ，
又，，， .
变式（1） 如图所示，已知四棱锥 的底面
为平行四边形，，分别为棱， 上的点，
，是 的中点，若向量
，则( )
B
A.， B.， C.， D.，
[解析] 因为，所以 ，所以
，又，所以, .故选B.
（2）[2024·广东东莞高二期中] 如图，在平行六面体 中，底
面是边长为1的正方形，， .设 ，
，，试用，，表示，并求 .
解：因为，，，, ,
所以 .
因为底面是边长为1的正方形，， ，所以
.
［素养小结］
用基底表示向量的步骤:
（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
（2）找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据三角形法则及平
行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
（3）下结论:利用空间的一个基底{,, }可以表示出空间所有向量.表示要彻底,
结果中只能含有,, ,不能含有其他形式的向量.
探究点三 空间向量基本定理的应用
角度一 垂直平行关系的证明
例3 如图所示，在三棱柱中，， 分
别是，上的点，且 ,
．用空间向量解决如下问题：
（1）若,，证明： ;
证明:由题意得，且, ,
所以,所以,即 .
（2）证明：平面 .
[证明] 由题意得
,所以，, 共面，
又 平面,， 平面， 平面 ，
所以平面 .
变式 在四棱锥中，底面 是正方形，
侧面 底面，且 ，若
，分别为， 的中点，用向量方法证明：
（1）平面 ；
证明：连接 ，则
,所以向量，， 共面，
又 平面， 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2） 平面 .
证明：因为底面是正方形，所以 ，
又侧面 底面，侧面 底面， 平面 ，
所以 平面，又 平面，所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
，
所以，，又 平面， 平面， ,
所以 平面 .
角度二 求两直线的夹角
例4 如图，在平行六面体中，以顶点 为端点的三条棱的长
度都为1，且两两夹角为 ，求与 所成角的余弦值．
解：设，， ，这三个向量不共面，可构成空间的一个基底．
由题意得，，，， ，
所以 .
易知， ，
所以 ，
，所以， ，
又 ，
所以，，故与所成角的余弦值为 .
变式 已知正四面体的棱长为1,,分别是, 的中点.
解：记,,,这三个向量不共面,则{,, }为空间的一个基底,
且,,,, ,
所以 .
（1）证明: ;
证明：因为 ,
,
所以 ,
所以,即 .
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
解：因为 ,
所以 .
又因为 ,所以
,
又因为,所以,,故异面直线与 所
成角的余弦值为 .
［素养小结］
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共
面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量，那么可以确
定一个单位正交基底；然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的
代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量；最后把空间向
量的运算转化为基向量的运算.涉及异面直线所成的角时，可用已知向量代入公
式求解，其中, 用基向量表示.
1.空间向量基本定理的三个关注点
（1）空间向量的任意性:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表示空间中任
意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
（2）基底选取的任意性:空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
（3）基底的顺序性:空间中任意一个向量在基向量上的分向量是唯一确定的,即
若基底为{,,,,则在该基底下与 对应的有序实数组为
.
2.单位正交基底的特点
（1）位置:三个向量两两垂直且有公共起点 .
（2）模长:每个向量的模都等于1.
（3）记法:一般记作{,,,,, }等.
1.空间向量基本定理的应用：要用,, 表示所给的向量,需要结合图形,充分运用
空间向量的加、减法和数乘运算,再结合空间向量的基本定理即可.
例1 如图，在平行六面体 中，
,,,,,分别是, ,
的中点，点在上，且 ,用空
间的一个基底{,, }表示下列向量:
（1） ;
解: ,
.
（2） ;
[答案] 连接,， ,
.
（3） ;
[答案] .
（4） .
[答案] .
2.利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表达式,并用已知向量
表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.
例2 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，若,
分别是,的中点，求异面直线与 所成角的余弦值.
解：设,,,这三个向量不共面且两两垂直，则{，, }
是空间的一个单位正交基底.
因为 ,
,
所以 ，
又,,所以 ，
，
故异面直线与所成角的余弦值为 .
例3 如图，在平行六面体 中，
，， ，
，为与的交点．若 ，
， ．
（1）用，，表示 ；
解：由题意得
.
（2）求 的长；
解：由题意得 ，
,，, ，
所以 .
（3）求与 所成角的余弦值．
解：因为，所以 ，所
以, ，
所以与所成角的余弦值为 .