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第01讲 平面向量的概念及线性运算
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 平面向量的线性运算及其几何意义 (2) 向量共线定理 (3) 平面向量的坐标表示 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年上海卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分2020年山东卷5分
（1）本讲为新高考命题热点，题型以选择题为主，常以基础简单题出现，所以要对向量的概念和运算熟练掌握； （2）重点是平面向量的概念，平面向量的线性运算及其几何意义，向量共线定理，平面向量的坐标表示，主要考查平面向量的线性运算，向量的平行和垂直及其坐标表示，共线定理、平面向量定理的应用.
(
考试要求
小
)
1、理解平面向量的意义，几何表示及向量相等的含义；
2、掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义；
3、了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 平面向量的概念
1、平面向量的概念
（1）向量定义：既有 又有 的量（位移、力、速度）；向量的大小叫做向量的 ；
（2）零向量：模为0的向量，记作0，手写为“”；零向量的方向是 ，与任何向量都 ；
（3）单位向量：模为 的向量；与非零向量同向的单位向量为 ；
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量；向量可以平移；
（5）相等向量：大小 ，方向 的向量；
（6）相反向量：大小相等，方向相反的向量；
知识点2: 平面向量的线性运算
1、线性运算
（1）向量的加法： ；
满足三角形法则和四边形法则
运算律：，
（2）向量的减法： ；
运算律：
（3）向量的数乘：
1）当时，与的方向 ；
2）当时，与的方向相反；
3）当时，；
运算律：，，
知识点3: 向量共线定理、定比分点
1、向量共线定理、定比分点
（1）若向量与共线，则（唯一）；
（2）若为线段的中点，为平面内任一点，则；
（3）三点共线 ；
（4）定比分点：若，则.
知识点4: 平面向量基本定理及坐标表示
1、平面向量基本定理
若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得 ；
其中，不共线的向量叫做表示这一平面内的一组基底，唯一；
2、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
3、坐标运算
（1）原点，点，则终点减起点，模 ；
（2） 点，点，则终点减起点， ；
（3）数乘：，为实数，则；
（4）加减法：，，则，；
（5）中点坐标：点，点的中点坐标是；
（6）单位向量：非零向量的单位向量是 ；
(
题型展示
小
)
题型一: 平面向量的线性运算
【例1】（2022·全国新Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二: 共线定理及其应用
【例2】（2024·上海）已知，且，则的值为 ．
【变式2】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
题型三: 平面向量的坐标表示
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【变式3】设向量，若，则 .
(
考场演练
)
【真题1】（2024·上海）已知，且，则的值为 ．
【真题2】（2024·全国甲卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2021·全国甲卷）已知向量．若，则 ．
【真题7】（2021·全国乙卷）已知向量，若，则 ．
【真题8】（2020·山东）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【真题9】（2018·全国）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【真题10】（2016·全国）已知向量，且，则___________.
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第01讲 平面向量的概念及线性运算
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 平面向量的线性运算及其几何意义 (2) 向量共线定理 (3) 平面向量的坐标表示 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年上海卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分2020年山东卷5分
（1）本讲为新高考命题热点，题型以选择题为主，常以基础简单题出现，所以要对向量的概念和运算熟练掌握； （2）重点是平面向量的概念，平面向量的线性运算及其几何意义，向量共线定理，平面向量的坐标表示，主要考查平面向量的线性运算，向量的平行和垂直及其坐标表示，共线定理、平面向量定理的应用.
(
考试要求
小
)
1、理解平面向量的意义，几何表示及向量相等的含义；
2、掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义；
3、了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 平面向量的概念
1、平面向量的概念
（1）向量定义：既有大小又有方向的量（位移、力、速度）；向量的大小叫做向量的长度或者模；
（2）零向量：模为0的向量，记作0，手写为“”；零向量的方向是任意的，与任何向量都平行（共线）；
（3）单位向量：模为单位长度的向量；与非零向量同向的单位向量为；
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量；向量可以平移；
（5）相等向量：大小相等，方向相同的向量；
（6）相反向量：大小相等，方向相反的向量；
知识点2: 平面向量的线性运算
1、线性运算
（1）向量的加法：
满足三角形法则和四边形法则
运算律：，
（2）向量的减法：
运算律：
（3）向量的数乘：
1）当时，与的方向相同；
2）当时，与的方向相反；
3）当时，；
运算律：，，
知识点3: 向量共线定理、定比分点
1、向量共线定理、定比分点
（1）若向量与共线，则（唯一）；
（2）若为线段的中点，为平面内任一点，则；
（3）三点共线；
（4）定比分点：若，则.
知识点4: 平面向量基本定理及坐标表示
1、平面向量基本定理
若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得；
其中，不共线的向量叫做表示这一平面内的一组基底，唯一；
2、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
3、坐标运算
（1）原点，点，则终点减起点，模；
（2） 点，点，则终点减起点，；
（3）数乘：，为实数，则；
（4）加减法：，，则，；
（5）中点坐标：点，点的中点坐标是；
（6）单位向量：非零向量的单位向量是；
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题型展示
小
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题型一: 平面向量的线性运算
【例1】（2022·全国新Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
点D在边AB上，，，即，
；答案为B．
【变式1】在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
，答案为A.
题型二: 共线定理及其应用
【例2】（2024·上海）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【解析】
，，解得；故答案为15．
【变式2】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【答案】
【解析】
向量与平行，
，则．
题型三: 平面向量的坐标表示
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】
对A，当时，则，
，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，不成立，即充分性不成立，故D错误；
答案为C.
【变式3】设向量，若，则 .
【答案】5
【解析】
由可得，又，
，即；故答案为5.
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考场演练
)
【真题1】（2024·上海）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【解析】
，，解得；故答案为15．
【真题2】（2024·全国甲卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
，所以，
即，故，答案为D.
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】
对A，当时，则，，解得或，必要性不成立，A错；
对C，当时，，故，，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错；
对D，当时，不满足，不成立，即充分性不成立，故D错；
答案为C.
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，，，
由，
即；答案为D．
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
点D在边AB上，，所以，即，
；答案为B．
【真题6】（2021·全国甲卷）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【解析】
,
，解得；故答案为.
【真题7】（2021·全国乙卷）已知向量，若，则 ．
【答案】
【解析】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解得；故答案为.
【真题8】（2020·山东）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
连结，则为的中位线，，
答案为A.
【真题9】（2018·全国）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
，答案为A.
【真题10】（2016·全国）已知向量，且，则___________.
【答案】
【解析】
，所以，解得.故答案为.
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