《平方差公式》学情分析
高青县第三中学 杜雪亭
一、本课在教材中的地位、作用和意义 《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位.所以，我将教学重点定为：平方差公式的推导和应用．
3、本节课的教学目标
基于对教材的理解和分析，我在教学中以学生为主体，以学生的学为根本，我把本课的目标定位为： （一）知识目标
了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.
（二）能力目标
经历平方差公式产生的探究过程，培养观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符号感，感受利用转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题的策略.
（三）情感目标
通过探究平方差公式,形成学习数学公式的一般套路，体会成功的喜悦，培养团结协助的意识，增强学生学数学、用数学的兴趣.
二、说学生
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性，鉴于八年级学生的认知水平，理解上有困难．因此，我们把教学难点定为：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
三、说教法、学法
课堂是学生学习的主阵地，真正做到把课堂还给学生，因而我采取的的教学模式定为：三先两主动，即让学生先说话、先动手、先总结，让学生主动提问、主动探索。学习方法：学生积极参与、大胆猜想、合作交流和自主探索。
平方差公式效果分析
??教学目标符合课标、学业考试的要求，与新教材紧密结合，有可操作性和可检测性。目标出示时机恰当，能够引领学生的学习。过程与方法、情感态度与价值观的目标确定能结合具体的知识点作载体。体现以生为本的理念，与生活实例相结合，符合学生的认知规律，注重培养学生的思维能力、表达能力、动手能力、创新能力等与本课相关的基本能力。课堂思维活跃，师生交流顺畅。
平方差公式教学设计
教学目标
1、知识与技能：理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式进行运算。
2、过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，感悟换元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。
3、情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验。
二、重点、难点分析
重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式。
（2）难点是公式推导的理解及字母的广泛含义。
三、教学互动设计
教学过程
教 师 活 动
学生活动
设计意图
（一）创设
情境
搭建平台
多项式与多项式的乘法法则是什么？
多项式的乘法，同桌交换检查完成情况.
(x+2)(x-2) (2x+1)(2x-1)
(x+2y)(x-2y)(3m+2n)(3m-2n)
3、在上述计算中你发现了什么规律？你有何猜想？
1、计算：
2、检查
3、是否任意两个数的和乘以这这两个数的差等于这两个数的平方差.
从学生熟知的多项式乘法着手，鼓励学生积极探索，大胆猜想，为学生搭建数学再创造活动的平台.为学生舒展灵性创设空间.
（二）合
作
交
流
构
建
模
型
你的猜想是否具有一般性？
你能举例证明你们的猜想吗？
（2）代数证明（多项式乘法法则）
(a+b)(a-b)=a2-ab+ba+b2
即(a+b)(a-b)=a2-b2
抽象得出公式
并给公式取名.
（3）导入总课题——乘法公式
（4）给公式命名活动（你的公式你作主）
抓住特点命名为平方差公式——补充子课题.
（5）用文字语言叙述平方差公式.
（6）几何证明
用图中阴影部分面积的不同求法解释平方差公式.
多媒体展示：图形割补得到矩形.
上图(1)、(2)说明了平方差公式的几何解释，即(a+b)(a-b)=a2-b2
想——议——证
小组交流
举例证明公式.
给公式命名
任意两个数的和乘以这这两个数的差等于这两个数的平方差.
小组交流，
合作探究，
进一步了解与证明公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想.
让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味.
渗透数形结合思想，了解公式几何背景.
突破难点.
（三）学
以
致
用
、
体
验
成
功
例：你会运用平方差公式计算吗？
①(2x+1)(2x-1)
②(x+2y)(x-2y)
解析：
①2x+1) (2x-1)= (2x)2-12
(a+ b) ( a -b)= a2 - b2
练习一：抢答
下列计算能否利用平方差公式，如果能，请找出a、b，说出结果；如果不能，说明理由。
（利用多媒体动态出现如下试题）
(4x+3y)(4x-3y)
(-2m+n)(-2m-n)
(a2+b3)(b3-a2)
102×98
(-3a-2b)(3a+2b)
(5m+4n)(5m+4n)
练习二：
(1) 在括号内填上怎样的代数式才能利用平方差公式进行计算
(-2a+b)( )
(-a-b) ( )
(2) 计算：
(-4a-b)(-4a+b)
你能一题多解吗？
找准公式中的a、b，尝试性地运用公式.
理解公式的结构特征，自主探究，加深理解.
合作交流，完善答案.
一题多解.
学会用公式初步解题，体验公式的优越性和成功的喜悦.
激发兴趣，正确地利用公式.进一步理解公式特征.
使学生能灵活运用公式，培养其发散思维和思考问题的严密性，思考角度的多样性.
突出重点.
（四）应用
移迁
、
快乐
晋级
计算：
(a+b-c) (a-b+c)
(x+y)2-(x-y)2
构建特点，利用平方差公式
抓住特点，逆用公式.
培养学生的整体思想、逆向思维，进一步理解公式中字母的广泛含义，综合运用公式.
突破难点.
（五）
学海
冲浪
、
能力比拼
3分钟能力大比拼
以小组为单位，构建具有平方差公式结构特征的多项式乘法。比比哪组创新意识强？哪组合作意识强？哪组反应快，数量多.
积极思考，
努力探索.
给学生一个弹性空间。让他们在活动中，体验竞争的快乐，享受学习。使情感、态度得得到升华.
（六）
反思感悟
、
自主
作业
说说本节课的收获与困惑.
自主作业.
(1)、P45 第一题、第二题
(2)填空：
(3)计算：
引导学生在知识技能、情感、态度等方面进行自我评价.
根据需要，自由选择，自主完成.
在反思中感悟，在感悟中升华.
分层设计，满足不同学生对学习的要求.
自由选择，不强加给学生任务，充分体现减负思想和人性化设计.
教材分析
（一）教材的地位与作用。
《平方差公式》是鲁教版义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级（下）第六章《整式的运算》第六节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
（二）教学重难点、关键：
1、重点：平方差公式的探索和应用。
2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。
3、关键：准确找到a，b。
二、目标分析：
学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：
(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。
(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。
《平方差公式》观课记录
学科： 数学 授课教师：杜雪亭 得分： 93
A级
指标
B级指标
评价
赋分
得分
教师
学生
学习
目标
10分
目标符合课标、学业考试的要求，与新教材紧密结合，有可操作性和可检测性。目标出示时机恰当，能够引领学生的学习。过程与方法、情感态度与价值观的目标确定能结合具体的知识点作载体。
对目标的认定明确，不同目标的达成程度和方式有所理解。
10
10
学习
过程
60分
体现以生为本的理念，与生活实例相结合，符合学生的认知规律，注重培养学生的思维能力、表达能力、动手能力、创新能力等与本课相关的基本能力。
对所学知识产生了兴趣，学生的各种能力得到了展现与提高。
10
9
能够从多角度来抓住重点，能巧妙突破难点。
对重点知识掌握全面，能够解决疑难问题。
10
10
关注学情，关注生成，关注学生深层次的疑惑，能纠正学生出现的错误。
新学知识掌握明确，某些前错误概念得到纠正。
10
10
课堂环节紧凑，时间分配合理，学生学习有时空的保障。
有充分的思考和解答问题时间。
5
4
课堂思维活跃，师生交流顺畅。
敢于发表自己的想法，能够表达出自己对学习内容的认知程度。
5
5
选择实践性、体验性强的教学手段进行教学，能够运用现代教学手段来辅助教学提高课堂效率。
所学知识体验深刻，不易忘记，内化为自己的认识和能力。
5
4
能够将不同的教学内容运用不同形式的小组合作学习来落实。
能够通过独学、对学、群学等多种途径利用督学和互助来学习。
5
5
能够做到教师精讲点拨，注重教给学生规律和方法。
对整节课知识有整体认识、知识脉络清晰，掌握了新知，学到一些学习或认知方法。
10
8
学习
效果
30分
能够针对不同的目标采取不同的形式来检测达成情况，并及时反馈。
能够较准确的解答诊断检测题，对问题得到及时纠正。
30
28
合计
93
评课人：张伟伟
平方差测评练习
1、下列各式计算的对不对？如果不对，应怎样改正？
(1) (x+2)(x-2)=x2-2 (2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4
(3) (x+5)(3x-5)=3x2-25 (4) (2ab-c)(c+2ab)=4a2b2-c2
2、用平方差公式计算：
1）(3x+2)(3x-2) 2）（b+2a）（2a-b）
3）（-x+2y）（-x-2y） 4）（-m+n）(m+n）
5) (-0.3x+y)(y+0.3x) 6) (-a-b)(a-b)
3、利用简便方法计算：
(1) 102×98 (2) 20012 -19992
四、能力拓展
1、运用平方差公式计算：
(1) (x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x-y) (2) (a+2b+c)(a+2b-c) (3) (+5)2 -(-5)2
课件17张PPT。平方差公式高青第三中学
杜雪亭多项式与多项式相乘，先用第一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.温故知新：多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn想一想 灰太狼开了一家租地公司,一天他把边长为a米的正方形土地租给村长慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?” 同学们,你能效仿喜羊羊帮帮村长吗?相等吗？原来现在面积变了吗？a2(a+5)(a-5)①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）计算下列各题算一算，比一比，看谁算得又快又准 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 它们的结果有什么特点？x2 － 4212－(2a)2m2 － (6n)2(5y)2 － z2答案平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b22、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2适当加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等． 一、口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=??_________
(2)(a-b)(b+a)= __________
(3)(-a-b)(-a+b)= ________
(4)(a-b)(-a-b)= _________a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)1、找一找、填一填aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1( 0.3x)2-12(a-b)(a+b)(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2例1、用平方差公式计算
计算：（x+2y)(x-2y)解：原式＝ x2 - (2y)2＝x2 - 4y21、先把要计算的式子与公式对照, 2、哪个是 a？
哪个是 b？例题例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).解：（1）(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4；（2）(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.(3) (-x+2y)(-x-2y)=(-x)2－(2y)2= x2－4y2试试就能行例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .解: (1) 102×98(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)= 1002-22=10000 – 4 =（100＋2）(100－2)=9996= y2-22-(y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= - 4y + 1.挑战自我（1）(a+3b)(a - 3b)=4 a2－9；=4x4－y2.=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2 ；=(2a)2－32 =(-2x2 )2－y2 =(50+1)(50-1)=502－12 =2500-1=2499=(9x2－16) －(6x2+5x -6)=3x2－5x- 10=(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)（3）51×49（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(－2x2－y)(－2x2+y)相信自己 我能行！达标检测利用平方差公式计算：（ ）1.化简(x4+y4 )(x4+y4 )(x4+y4)知难而进
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为b小结 相同为a 适当加括号平方差公式goodbye!
《平方差公式》课标分析
学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：
(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。
(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。
