2024~2025学年度陕西省咸阳市乾县晨光中学高二上学期第二次阶段性测试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024~2025学年度陕西省咸阳市乾县晨光中学高二上学期第二次阶段性测试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 978.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-12 10:36:05 | ||
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文档简介
2024~2025学年度乾县晨光中学高二上学期第二次阶段性测试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.0
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
3. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A. B. C. 1 D.
4.在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱PB上，且满足，则异面直线PC和DG的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.A
5. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 124 D. 252
6. 在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10. 设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A. 数列的最小项为第项 B.
C. D. 时，的最大值为
11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数满足，则___________.
13. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
14. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线与直线相交于点，则
（1）求过点且平行于直线的直线
（2）求过点且垂直于直线的直线
16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．
（1）证明：；
（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
17. 随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等
质量非优等
合计
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.已知中，角的对边分别是，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
1.C
由题意知直线的斜率为，所以，解得.故选C.
2.B
三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
3.D
由题意三棱锥中，点面，且，
所以，解得.
故选：D.
如图，以点为原点，，，分别作为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.所以，，，设为直线PC和DG的公垂线的方向向量，则有，可取，所以异面直线PC和DG的距离为.故选A.
5.B
由，得的公比，所以的公比为，
则的前6项和为．
故选：B.
6.A
.
故选：A
7.D
如图：取中点，连结，
因为的棱长为的正方体，
所以，且，
所以四面体的外接球的球心为为，且外接球半径，
所以四面体的外接球的体积.
故选：D.
8.D
设交点分别为，，则，，
两式相减得到，即，解得.
故直线方程为：，即.
故选：D.
9.ABD
对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
10.ABC
对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
11.ABC
12.
13.
两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14.
因为底面，底面正方形，
所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，则重心，
因而，，，
设平面的一个法向量为，
则，令则，
则，
故答案为：.
15.(1)由解得，即，
因为直线的斜率为，
所以过点且平行于直线的直线的斜率为，
所以直线为：，化简得.
(2)因为直线的斜率为，
所以点且垂直于直线的直线的斜率为
所以直线为：，化简得.
16.(1)连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
(2)由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
17.(1)解：由题意可得列联表为：
甲有机肥料
乙有机肥料
合计
质量优等
60
30
90
质量非优等
40
70
110
合计
100
100
200
则.
所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.
(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，
随机变量的可能取值有0，1，2，
，，，
随机变量分布列如下：
0
1
2
.
18.（1）已知中，角，，的对边分别是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，解得.
（2）的平分线交于点，且，
利用三角形的面积：
所以，
整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以，解得，
所以周长的最小值为.
19.(1)因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
(2)由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
(3)假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.0
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
3. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A. B. C. 1 D.
4.在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱PB上，且满足，则异面直线PC和DG的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.A
5. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 124 D. 252
6. 在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10. 设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A. 数列的最小项为第项 B.
C. D. 时，的最大值为
11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数满足，则___________.
13. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
14. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线与直线相交于点，则
（1）求过点且平行于直线的直线
（2）求过点且垂直于直线的直线
16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．
（1）证明：；
（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
17. 随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等
质量非优等
合计
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.已知中，角的对边分别是，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
1.C
由题意知直线的斜率为，所以，解得.故选C.
2.B
三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
3.D
由题意三棱锥中，点面，且，
所以，解得.
故选：D.
如图，以点为原点，，，分别作为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.所以，，，设为直线PC和DG的公垂线的方向向量，则有，可取，所以异面直线PC和DG的距离为.故选A.
5.B
由，得的公比，所以的公比为，
则的前6项和为．
故选：B.
6.A
.
故选：A
7.D
如图：取中点，连结，
因为的棱长为的正方体，
所以，且，
所以四面体的外接球的球心为为，且外接球半径，
所以四面体的外接球的体积.
故选：D.
8.D
设交点分别为，，则，，
两式相减得到，即，解得.
故直线方程为：，即.
故选：D.
9.ABD
对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
10.ABC
对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
11.ABC
12.
13.
两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14.
因为底面，底面正方形，
所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，则重心，
因而，，，
设平面的一个法向量为，
则，令则，
则，
故答案为：.
15.(1)由解得，即，
因为直线的斜率为，
所以过点且平行于直线的直线的斜率为，
所以直线为：，化简得.
(2)因为直线的斜率为，
所以点且垂直于直线的直线的斜率为
所以直线为：，化简得.
16.(1)连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，则，
所以.
(2)由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
17.(1)解：由题意可得列联表为：
甲有机肥料
乙有机肥料
合计
质量优等
60
30
90
质量非优等
40
70
110
合计
100
100
200
则.
所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.
(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，
随机变量的可能取值有0，1，2，
，，，
随机变量分布列如下：
0
1
2
.
18.（1）已知中，角，，的对边分别是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，解得.
（2）的平分线交于点，且，
利用三角形的面积：
所以，
整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以，解得，
所以周长的最小值为.
19.(1)因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
(2)由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
(3)假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
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