2024~2025学年度陕西省咸阳市乾县晨光中学高二上学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析）

2024~2025学年度乾县晨光中学高二上学期第一次阶段性测试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2.若，则（ ）
A. B. C.22 D.29
3.若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A. B. 1 C. D.
5. 已知向量为平面法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 随机变量服从若
则下列选项一定正确的是（ ）
A B.
C. D.
7.点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知，，则在上的投影向量为
B.若两个不同平面，的法向量分別是，，且，，则
C.若，则A，B，C，G四点共面
D.若向量，（x，y，z都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
11. 如图，平面，，则（ ）
A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
13.在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为__________.
14. 如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求．
16.如图，已知多面体的底面是菱形，侧棱底面，且.
（1）证明：；
（2）若，，，求直线BC与平面所成的角的正弦值.
17.如图，三棱台，，，平面平面，，，，与相交于点，，且平面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求的值.
18.如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
1.C
由，故这组数据的中位数为.
故选C.
2.A
由，得，所以.故选A.
3.D
因为，所以的对称轴为，在单调递减，则在单调递增，又因为，由对称性可得，所以，，
.故选D.
4.C
由题可知，，,
所以有，所以，得.
故选C
5.B
因为，
所以，
因为平面的法向量，
所以点到平面的距离.
故选B
6.C
因为
由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断，
，，
所以ABD错误.
故选:C
7.B
将直线方程变形为，所以解得由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于到直线的最短距离为0，此时直线经过点.又，所以到直线的距离的取值范围是.故选B.
8.D
在正三棱锥中，，所以，又，所以.故选D.
9.BD
对于A，由于，，则在的投影向量为，故A错误；
对于B：若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则，故B正确；
对于C：由于，对于，故A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于D：p在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），即，所以在基底下满足，故，，，解得，，，则在基底下的坐标为，故D正确.故选BD.
10.ACD
在中，
∵，则，整理得，所以，
由二倍角公式得，解得，
在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知：，即，
由，解得，故选项C正确；
在中，
∵，则，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
11.BCD
根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，，
所以，所以，不垂直，故A错误；
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，所以平面，故B正确；
设为平面的一个法向量，则，
令，可得，
而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角，
则,故C正确；
设直线与平面所成角为，，
则，故D正确.
故选：BCD.
12.
解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，
所以
故答案为：
13.2
由题意得，所以的面积为，点都在平面上，点到平面的距离3，所以三棱锥的体积为.
14.2
如图所示：
在中，，
而直角三角形周长，
由勾股定理可知，
若要使最大，只需最大即可，
即最大即可，
又，当且仅当时等号成立，
所以，所以，，
当且仅当等号成立，
此时，其面积为.
故答案为：.
15.（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即．
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
16.解：（1）因为，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为四边形是菱形，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）设AC交BD于，以为原点，以OB为轴，OC为轴，过作为轴建立空间直角坐标系，
由图可知，，，，.，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
所以.
设直线BC与平面所成角为，
则，因此直线BC与平面所成角的正弦值为.
17.（1）略
（2）由题意及（1）得，
以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，则，
平面的一个法向量为，
所以，.
又因为，，
所以，.
，
又，所以.
18.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在平面中，过点作，所以，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示.
因为是等边三角形，，所以，
，因为，所以.
设，所以，所以
.
设平面的法向量为，
因为所以令，得，
，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为所以令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，所以
，
设，则，所以，
所以，
所以当，即时，取到最小值.
19.（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．