山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（PDF版，含解析）

山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考
2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
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三校联考高二数学月考试题答案 ax + y 2 = 0 A (0, 2)
1 5 3
= tan = x ay + 4a 2 = 0 x 2+ ( y+4)a = 0 B (2, 4)
1.A【详解】由题知， m 6 3 解得m = 3
ax + y 2 = 0 x ay + 4a 2 = 0
2.C【详解】延长BG交 AC于点D，则点D为 AC的中点，
PA |2 + PB |2=| AB |2= 8.
因为 ，所以 , PA⊥ PB
2 2
所以 ， PA + PB
PAB的周长为PA + PB + 2 2 2 + 2 2 = 4 + 2 2
2
所以 ， （当且仅当PA = PB时等号成立）
x = 3
所以 ，
k l y = k (x 3)
因为OA= a ，OB = b ，OC = c ，
3k 2
x =
y = k (x 3)
所以 。 k 2
2x y 2 = 0 4ky =
l
3.C【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 1 k 2
3k 3
2 0 x =
A(1,2) = 2 y = k (x 3) k +1
又因为直线过点 ，所以直线的斜率为 1 0 ，
x + y +3 = 0 6ky =
l
所以直线方程为 ，即2x y = 0， 2 k +1
x y 3k 2 4k 3k 3 6k
+ =1 , , ,l l 当直线不过原点时，设直线方程为 a a ， l 1 2 k 2 k 2 k +1 k +1
A(1,2因为点 )在直线上， l l1 l2 P
1 2
+ =1 3k 2 3k 3 4k 6k
所以 a a ，解得 ， + = 6, + = 0
k 2 k +1 k 2 k +1 k 8
所以直线方程为 x y +1= 0，
l 8x y 24 = 0
故所求直线方程为2x y = 0或 x y +1= 0 .故 C 项正确. AM
y
4.D【详解】如图，因为 x 3 表示点 和点E(3,0)连线的斜率，
3 0 2 0 1
A(2,3), B( 1,2) kAE = = 3 kBE = =
又 ，所以 2 3 ， 1 3 2 ，
y
由图知， x 3 的最大值为_ ，
5.D
{#{QQABTQKAogAAAIIAAAgCEwVqCkOQkAGAAagORAAAoAAACAFABCA=}#}
A (0, 2)
6.B【详解】由题意可知，动直线ax + y 2 = 0经过定点 ，
1 5 3
= tan = x ay + 4a 2 = 0 x 2+ ( y+4)a = 0 B (2, 4)
m 6 3 m = 3 动直线 即 ，经过点定点 ，
过定点 A 的直线ax + y 2 = 0与过定点 B 的直线 x ay + 4a 2 = 0BG AC D D AC 始终垂直，P 又是两条直线的交点，
PA |2 + PB |2=| AB |2= 8.
有PA⊥ PB，
2 2
PA + PB
PAB的周长为PA + PB + 2 2 2 + 2 2 = 4 + 2 2
2
（当且仅当PA = PB时等号成立）
7.B【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为： x = 3，不符合题意；
y = k x 3
OA= a OB = b 所以直线斜率存在设为
k ，则直线 l方程为 ( )，
OC = c
3k 2
x = y = k (x 3) k 2

2x y 2 = 0 4ky =
0 联立直线 l1得： k 2 ，
3k 3
2 0 x =
A(1,2) = 2 y = k (x 3) k +11 0
x + y +3 = 0 6ky =
2x y = 0 联立直线 l2得：， k +1 ，
x y 3k 2 4k 3k 3 6k
+ =1 , , ,
a a 所以直线 l与直线 l1，直线 l2的交点为： k 2 k 2 k +1 k +1 ，
A(1,2)
又直线 l夹在两条直线 l1和 l2之间的线段恰被点 P 平分，
1 2
+ =1 3k 2 3k 3 4k 6k
a a + = 6, + = 0
所以 k 2 k +1 k 2 k +1 ，解得：k 8，
x y +1= 0
所以直线 l的方程为：8x y 24 = 0
2x y = 0 x y +1= 0
8.A【详解】如图连接 AM 由题意知：
y
x 3 E(3,0)
3 0 2 0 1
A(2,3), B( 1,2) kAE = = 3 kBE = = 2 3 1 3 2
；
y
x 3
a =1 l l1 2
l ⊥ l 1 a + a (3 2a) = 01 2 a = 0
令 ，则 ， 1
a 0 l1 y = x +1 (0,1)
a
四点共面， （当且仅当 时取等号）， PD1, PA1, D1P, BP, A1C D
1 1
； B (1,1,0) ,C (0,1,0) , B1 (1,1,1), D1 (0,0,1),O , ,0
2 2
设点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为 ，
DP = DB+ BP = DB+ BC + BB1 = (1,1,0)+ ( 1,0,0)+ (0,0,1)
又 ， ，
= (1 ,1, ) P(1 ,1, )
，即 的最小值为 P 0,1,0. =1, = 0 ( ) P C
9.ACD【详解】对于 A 选项，直线 xsin + y + 2 = 0的倾斜角为 ，则 tan = sin ，因为 1 sin 1， 1 1 1VP A BD =VA PBD =V1 1 A1 CBD = 1 1 1=3 2 6
π 3π
0, ,π
所以 1 tan 1，所以 4 4 ，故 A 正确； + =1 P( ,1, ) D1P = ( ,1, 1)
2 a2 1+ ( 1) ( a) = 0 DA = (1,0,1) , DB = (1,1,0) A BD n = (x, y, z对于 )B 选项，因为直线a x y +1= 0与直线 x ay 2 = 0互相垂直，所以 ，即 1 1
a2 + a = 0，解得a = 0或a = 1，所以“a = 1

”是“a = 0或a = 1”的充分不必要条件，所以“a = 1”是“直 n DA1 = x + z = 0

n DB = x + y = 0 n = ( 1,1,1)
线 a
2x y +1= 0与直线 x ay 2 = 0互相垂直”的充分不必要条件，故 B 错误；
D1P n = ( ,1, 1) ( 1,1,1) = 0 D P A1BD1
对于 C 选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共
D1P// A 1
BD
a,b ,c
线，设这两个非零向量为a,b ，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量 c，使得 为
1 1 1 1
空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故 C 正确; 1 =1, = P 0,1, OP = , ,
2 2 2 2 2
a = (9,4, 4),b = (1,2,2)
对于 D 选项，因为向量 ，所以a在b 上的投影向量为
n = 2OP OP ⊥ A1BD
b a b b a b 9
a cos a,b = a = b = (1,2,2) = (1,2,2)
b a b b | b |
2 9 1 1
，故 D 正确. OP = , , P(0,1, ) =1,0 1 2 2
2
x = x 2y = 0 3 2 1
10.ACD【详解】选项 A： l ： a(x 2y)+3y 1= 02 ，令 ，得 ，过点 , ，A 正确； 2
3y 1= 0 1 3 3
OP n 1+ 1 1+ 2 +

y = sin = = = 1
3 OP n 1 3 23 + 2 +
2 2
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选项 B：当a =1时， l l1， 2重合，故 B 错误；
选项 C：当 l1 ⊥ l2时，由1 a + a (3 2a) = 0，得a = 0或 2，故 C 正确；
1
选项 D：当a 0时， l1： y = x +1始终过 (0,1)，斜率为负，不会过第三象限，故 D 正确.
a
【详解】连接PD1, PA1, D1P, BP, AC11.BCD 1 ，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
1 1
B (1,1,0) ,C (0,1,0) , B1 (1,1,1), D1 (0,0,1),O , ,0
2 2 ，
DP = DB+ BP = DB+ BC + BB1 = (1,1,0)+ ( 1,0,0)+ (0,0,1)则
= (1 ,1, ) P(1 ,1, ，即 )，
P(0,1,0)
A 选项，若 =1, = 0，则 ，则 P 点与C点重合，
xsin + y + 2 = 0 tan = sin 1 sin 1 1 1 1
VP A BD =VA PBD =VA CBD = 1 1 1=1 1 1 3 2 6 ，A 选项错误.
π 3π
0, ,π
1 tan 1 4 4 + =1 P( ,1, ) D1P = ( ,1, 1)B 选项，若 ，则 ， ,
2
a2x y +1= 0 x ay 2 = 0 a 1+ ( 1) ( a) = 0 DA1 = (1,0,1) , DB = (1,1,0) A BD n = x, y, z，设平面 1 的法向量为 ( )，
a2 + a = 0 a = 0 a = 1 a = 1 a = 0 a = 1 a = 1 n DA1 = x + z = 0

则
n DB = x + y = 0 n = 1,1,1
，故可设 ( )，
a2x y +1= 0 x ay 2 = 0
D1P n = ( ,1, 1) ( 1,1,1) = 0 A BD由于 ，由于D1P 平面 1 ，
D P// A BD
a,b ,c 所以 1 平面 1 ，所以 B 选项正确. a,b c
1 1 1 1 1
=1, = P 0,1, OP = , ,
C 选项，若 2 ，则 2 ， 2 2 2 ,
a = (9,4, 4),b = (1,2,2) a b
n = 2OP OP ⊥ A1BD由于 ，所以 平面 ，所以 C 选项正确.
b a b b a b 9
a cos a,b = a = b = (1,2,2) = (1, 2, 2)
2
b a b b | b | 9 1 1
OP = , ,
P(0,1, )
D 选项，若 =1,0 1时， ， 2 2 ，
2
x =
x 2y = 0 3 2 1
l a(x 2y)+3y 1= 0 22 ,
3y 1= 0 1 OP n 1+ 1 1+ 2 + 3 3 y = sin = = =
3 OP n 1 3 2
1
3 + 2 +
则 2 2
1 1 1
+ 2 + 2 + 2 + 2 1 4 5
1 2 2 1 a
2 (a u ) = + =
= = 1+ 2
1 P AB
4 9 6
3 2 + 3 2
1
+
2 2 ，
1 1 5 2t 1 4t2 22 4t +1 2 1 4t 4t +9t = 2 + , t = , = , + = 2
设 2 2 2 ，则 4 16 2 16 ， AD BC = AF BC = BG BC =
3
1 t 1 16 1 2 2 2
sin = 1+ = 1+
2 OF = OB =
3 4t 4t +9 3 94t + 4 3 3 3
则 16 t ，
1 10 2 10
2 =
9 1 5 1 3 3 5
y = 4t + t , ,
3 3 9

由于函数 t 2 2

在 2 2

上单调递减，在 2 2

上单调递增，
1 9 3 9 5 9 68
4 + = 20,4 + =12,4 + =
2 1 2 3 2 5 5 912 4t + 20
2 2 2 ，所以 t ，
9 1 1 1 16
8 4t + 4 16, ,1 2
t 16 9 8 9
4t + 4 4t + 4
所以 t t ，
16 16
2 1+ 3 2 1+ 3
9 9
4t + 4 4t + 4
t ， t ，
6 2 1 16
= 1+ 1 6
3 3 3 94t + 4 sin ,1
t 3所以 ，所以 ，D 选项正确.
2
AB = AD = 2 BD = 2 2 AB + AD
2 = 8 = BD2 AB ⊥ AD
12. 【详解】因为直线的一个方向向量为（2,1），所以直线的斜率为 ，
ABCD A1B1C1D1 A1A⊥ AB A1A AD = A A1A AD ADD1A1
在 x轴上的截距为 1，则直线的方程为 ，即
5 ADD A
【详解】如图，以A 为原点， AB, AD, AA x, y, z
AB ⊥ 1 1
13. 1 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
6
A1B1∥AB A1B1 ⊥ ADD A( 1 1A 0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A1 (0,0,1) AB = (1,0,0), AD = (0,1,0), AA则 ，所以 1 = (0,0,1)，
AD1 ADD1A1 A1B1 ⊥ AD1
3 1 2 3 1 2
AP = AB + AD + AA1 = , ,
又 4 2 3 4 2 3 ，
AB AD A1A
AB
3 1 2 u = =
a = AP = , , (1,0,0) 2 9 1 4 181 3 AB a = + + = a u = AB = AD = 2 BD = 2 2 BC = 4
取 4 2 3 ， ，则 16 4 9 144 ， 4 ，
{#{QQABTQKAogAAAIIAAAgCEwVqCkOQkAGAAagORAAAoAAACAFABCA=}#}
1 1 1
+ 2 + 2 + 2 + 2 2 1 4 5
1 2 2 1 a (a u ) = + == = 1+ 2
3 1 3 1 所以点
P 到直线 AB 的距离为 4 9 6 .
2 + 2 +
2 2
2 2 14. 【详解】如图，取 AC 中点 O，D 在平面 ABC 的投影1 1 5 2t 1 2 4t 4t +1 2 1 4t 4t +9t = 2 + , t = , = , + = 2
2 2 2 4 16 2 16 F 在 OB 上，AD BC = AF BC = BG BC = ，所以
3
1 t 1 16 1 2 2 2
sin = 1+ = 1+
2 BG= ，易得OF = OB = ，所以 FD= ，所以
3 4t 4t +9 3 94t + 4 3 3 3
16 t
1 10 2 10
V= 2 =
9 1 5 1 3 3 5
y = 4t + t , ,
3 3 9

t 2 2

2 2 2 2
1 9 3 9 5 9 68 15．【详解】（1）因为 ......1 由 ，则 ........2 分
4 + = 20,4 + =12,4 + =
2 1 2 3 2 5 5 912 4t + 20 又 直线 的方程为 .......4 分
2 2 2 t
9 1 1 1 16
8 4t + 4 16, ,1 2 则 ，得顶点 的坐标为 ......6 分
t 16 9 8 9
4t + 4 4t + 4
t t
（2）设点 ，则 ， 在 上......7 分
16 16
2 1+ 3 2 1+ 3
9 9 即 ，即 .......9 分
4t + 4 4t + 4
t t
的方程为 5 .........................10 分
6 2 1 16
= 1+ 1 6 则 ，得 的坐标为 ..............12 分
3 3 3 94t + 4 sin ,1
t 3 又 ，所以直线 的方程为 ......13 分
2 2 2
16. 【详解】（1）因为 AB = AD = 2 ，BD = 2 2 ，所以 AB + AD = 8 = BD ，所以 AB ⊥ AD ....2 分
ABCD A1B1C1D1 A1A⊥ AB A1A AD = A A因为 为直四棱往，所以 ，因为 ， 1
A
， AD 面 ADD1A1，
x
5 AB ⊥ ADD1A1
A AB, AD, AA1 x, y, z 所以 面 ........4 分
6
A1B1∥AB A1B1 ⊥ ADD1A
A( 10,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A (0,0,1) AB = (1,0,0), AD = (0,1,0), AA = (0,0,1) 因为 ，所以 面 .........5 分 1 1
因为 AD1 面 ADD1A1，所以 A1B1 ⊥ AD13 1 2 3 1 2 ................6 分
AP = AB + AD + AA1 = , ,
4 2 3 4 2 3
A A
（2）由（1）及题意知， AB ， AD， 1 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.........7 分
AB
3 1 2 u = = (1,0,0a = AP = , ,
) 2 9 1 4 181 3
AB a = + + = a u = 因为 AB = AD = 2 ，
BD = 2 2 ，BC = 4， .
4 2 3 16 4 9 144 4
1 1
B(2,0,0) C (2,4,0) D(0,2,0所以 ， ， ， ， ， ) BN = 1, , , AC = (0,2,0) , PD = ( 1,0, 1 ) 2 2
BC = (0,4,0)
所以 ， ， .........9 分 PM = PD AM = AP+ PM = (0,1,1)+ ( 1,0, 1) = ( ,1,1 )
BCD n = x, y, z 设平面 1 1的一个法向量为 ( )， m AM = x1 + y1 + (1 ) z1 = 0ACM m = (x1, y1, z1)
m AC = 2y1 = 0
n CB1 = 0

n CD = 0 x =1 y1 = 0, z = m = (1,0, )则 1 ，即 ...........10 分 1 1 1
令 ，解得 ， BN / / ACM m⊥ BN

BC n 2 PM 24 2 6 m BN = 1+ = 0 = =
d = = = 2(1 ) 3 PD 3
，因为点 到平面B1CD
n 3
B 1的距离为 6 ...........13 分 PM 2
M BN / / MAC
解得 = 2（舍负）， PD 3 ..................15 分
17.【详解】（1）解：如图所示，设 AC BD =O，
以点O为坐标原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
在正方形 ABCD中，由BC =CD = 2，可得BD = BC2 +CD2 = 2 ......1 分
又因为PB = PD = 2，所以PB2 +PD2 = BD2，所以PB ⊥ PD，可得OP =1，
则 A(0, 1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), D( 1,0,0), P(0,0,1)，
1 1 1 1
因为M , N 分别为PD, PC 中点，可得M ( ,0, ), N (0, , )，
2 2 2 2
1 1 1 1
可得BN = ( 1, , ), AM = ( ,1, ), AC = (0,2,0) ......3 分
2 2 2 2
1 1
n AM = x + y + z = 0
设平面MAC的法向量为n = (x, y, z) ，则 2 2 ，

n AC = 2y = 0
令 x = 2，可得 y = 0, z = 2，所以n = (2,0,2) ..........5 分
设直线BN 与平面MAC所成角为 ，
BN n 2+1 3 5t 20 20
sin = cos BN ,n = = = 5 = 2 t 解得t = 或
可得 BN n 3 6 ............6 分 4 3 13
2 2
2 4 4
N 0,
3 3 3
所以直线BN 与平面MAC所成角的正弦值 ..............7 分

6
1 1
（2）解：因为 A(0, 1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), D( 1,0,0), P(0,0,1), N (0, , )，
2 2
{#{QQABTQKAogAAAIIAAAgCEwVqCkOQkAGAAagORAAAoAAACAFABCA=}#}
B(2,0,0) C (2,4,0) 1 1D( ) 0,2,0 可得BN = 1, , , AC = (0,2,0) , PD = ( 1,0, 1) ............8 分
2 2
BC = (0,4,0) 设PM = PD，可得 AM = AP+ PM = (0,1,1)+ ( 1,0, 1) = ( ,1,1 ) ........9 分
B1CD n = (x, y, z) 1 m AM = x1 + y1 + (1 ) z1 = 0
设平面 ACM 的法向量为m = (x , y , z )，则 ..........101 1 1 分
m AC = 2y1 = 0
n CB1 = 0

n CD = 0 令 x =1，可得 y1 = 0, z1 = ，所以m = (1,0, ) .............13 份 1
1 1
若BN / / 平面 ACM ，可得m⊥ BN ，

BC n 2 PM 24 2 6 即可得m BN = 1+ = 0，解得 = ，所以 = .........14 分
d = = = 2(1 ) 3 PD 3
B1CD n 6 31
PM 2
即存在点M ，使得BN / / 平面MAC，此时 的值为 .............15 分
PD 3
AC BD =O 18.解: (1) 把 A (4, 0) 代入 得：
O OB,OC,OP x, y, z
∴一次函数解析式为 令 得 ∴B (0, 3) ......2 分
ABCD BC =CD = 2 BD = BC2 +CD2 = 2
的面积 ......3 分
2
PB = PD = 2 PB +PD
2 = BD2 PB ⊥ PD OP =1
(2) ①设 ∵P 为射线 AB 上一点， 在 中，
A(0, 1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), D( 1,0,0), P(0,0,1)
1 1 1 1
M , N PD, PC 4, .....5 分 M ( ,0, ), N (0, , )
2 2 2 2
1 1 1 1
BN = ( 1, , ), AM = ( ,1, ), AC = (0,2,0)
2 2 2 2 设直线 AC 的解析式为 代入 A (4, 0) , C (0, -2) 得 .....6 分
1 1
n AM = x + y + z = 0
MAC n = (x, y, z) 2 2 又 轴，则 .......7 分

n AC = 2y = 0
........8 分
x = 2 y = 0, z = 2 n = (2,0,2) (3) 设 N (0, n) , 过点 N 作 于点 M， 是等腰直角三角形， 轴, 点 N 在 y 轴上，
BN MAC
当 N 为直角顶点时，
BN n 2+1 3 5t 20 20
sin = cos BN ,n = = = 5 = 2 t ，解得t = 或 ，
BN n 3 6 4 3 13
2 2
2 4 4
或 或 N 0, ...........11 分
3 3 3
BN MAC
6
1 1 当 P 为直角顶点时，
A(0, 1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), D( 1,0,0), P(0,0,1), N (0, , )
2 2
解得 ............14 分
当 Q 为直角顶点时，
解得 ...........16 分
综上所述： 或 或 ...................17 分
19.【详解】（1）由题可知，直线 的一个方向向量坐标为 ........1 分
平面 的一个法向量为 ..................2 分
设直线 与平面 所成角为 ，
3 7
则有 ，所以cos = .........4 分
8
3 7
直线 与平面 所成角的余弦值为 8 .........5 分
（2）由题可知平面 的法向量为 ...................6 分
（3）设点 在平面 内的投影点为 ，易知 与 共线，故 且 在
平面 上, 2x + 3y + z 6 = 0 ,令 ,
解得 ............8 分
故 ,由点 及点 在平面 外的同侧, 点 为平面 内任意一点，求 的最小值,分析易知
为将军饮马问题,设点 关于平面的对称点为 ,则 为 中点,故由中点公式 ,所以
......................10 分
由几何关系可知 = ........11 分
（3）由题可知平面 的法向量 ， 的方向向量 ，设平面 的法向量 ，
则有 ............12 分
整理得 ，不妨设 ，解得 或 ；
故平面 的法向量 或 ..........14 分
{#{QQABTQKAogAAAIIAAAgCEwVqCkOQkAGAAagORAAAoAAACAFABCA=}#}
又直线 在平面 内，不妨取其上一点 ，若 ，则平面 为
；
若 ，则平面 为 .........16 分
综上，平面 的点法式方程为：
或 .....17 分
3 7
cos =
8
3 7
8
2x + 3y + z 6 = 0