山东省青岛市城阳七中2015-2016学年八年级（上）期中数学试卷【解析版】

2015-2016学年山东省青岛市城阳七中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．在下列各数0.246，6π，﹣24.1010010001…（两个1之间依次多1个0），0，，，中，无理数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列运算中，错误的有( )
①=；②=±4；③==﹣2；④=+=．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4．估计﹣1的值在哪两个整数之间( )
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
5．若点A（a+3，a+1）在直角坐标系的y轴上，则点A的坐标是( )
A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
6．若函数y=（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为( )
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
7．有一个数值转换器，流程如图，当输入的x为81时，输出的y是( )
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A． B．3 C．9 D．2
8．正比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y=x﹣k在同一个直角坐标系内的图象大致是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．的平方根是__________，1﹣的相反数为__________．
10．比较大小：3__________4．
11．如图，围棋棋盘放置在某个平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8），那么黑棋的坐标应该是__________．
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12．如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°．两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将该纸片沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则折痕AD=__________cm．
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13．如果直线y=ax+b与直线y=﹣2x+3平行，且经过点A（﹣1，1），则b=__________．
14．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为__________cm．（π取3）
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15．若x＞4，则化简﹣=__________．
16．如图，以等腰三角形A ( http: / / www.21cnjy.com )OB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=__________．
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三、解答题（本题满分64分）
17．（24分）化简
（1）
（2）3﹣5
（3）（2﹣1）2
（4）
（5）
（6）2﹣．
18．已知点A（﹣2，﹣1），B（3，1），C（1，4）．
（1）在直角坐标系中描出点A、B、C，画出△ABC．
（2）求出△ABC的面积．
（3）作出△ABC在坐标系中关于y轴对称的△A1B1C1．
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19．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．
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20．某日通过高速公路收费站的汽车中， ( http: / / www.21cnjy.com )共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴费20元，小车每辆次缴费10元．设这一天小车缴通行费的辆次为x，总的通行费收入为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）若小车缴通行的辆次为1200，这天的通行费收入是多少元？
21．如图，lA lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距__________千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是__________小时．
（3）B出发后__________小时与A相遇．
（4）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
（5）请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与A相遇？
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22．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=__________，b=__________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：__________+__________=（__________+__________）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
2015-2016学年山东省青岛市城阳七中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．在下列各数0.246，6π，﹣24.1010010001…（两个1之间依次多1个0），0，，，中，无理数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数． ( http: / / www.21cnjy.com )理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：6π，﹣24.1010010001…（两个1之间依次多1个0），是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列运算中，错误的有( )
①=；②=±4；③==﹣2；④=+=．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】算术平方根．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解；①=，故①错误；
②=4，故②错误；
③负数没有平方根，故③错误；
④==，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，注意负数没有平方根．
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．估计﹣1的值在哪两个整数之间( )
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
【考点】估算无理数的大小．
【分析】首先根据4＜5＜9，估算2＜＜3，确定﹣1的取值范围．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
故选A．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，首先用算术平方根估算的取值范围是解答此题的关键．
5．若点A（a+3，a+1）在直角坐标系的y轴上，则点A的坐标是( )
A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【考点】点的坐标．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列式求出a，再求解即可．
【解答】解：∵点A（a+3，a+1）在y轴上，
∴a+3=0，
解得a=﹣3，
所以，a+1=﹣3+1=﹣2，
所以，点A的坐标为（0，﹣2）．
故选A．
【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
6．若函数y=（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为( )
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】一次函数的定义．
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，|m|=1且m﹣1≠0，
解得m=±1且m≠1，
所以，m=﹣1．
故选B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
7．有一个数值转换器，流程如图，当输入的x为81时，输出的y是( )
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A． B．3 C．9 D．2
【考点】算术平方根．
【专题】图表型．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：=9，=3，
y=，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，求算术平方根，直到不能开方为止．
8．正比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y=x﹣k在同一个直角坐标系内的图象大致是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质并结合其系数作答．
【解答】解：当k＞0时，正比例函数图象经过1，3象限，一次函数图象经过1，3，2象限，
当k＜0时，正比例函数图象经过2，4象限，一次函数图象经过1，3，4象限．
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．的平方根是，1﹣的相反数为﹣1．
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：=5，5的平方根是，
1﹣的相反数是﹣1，
故答案为：，﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，注意先求算术平方根再求平方根．
10．比较大小：3＜4．
【考点】实数大小比较．
【专题】推理填空题；实数．
【分析】首先分别求出3、4的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出3、4的平方的大小关系，即可判断出3、4的大小关系．
【解答】解：（1）=45，（4）2=48，
∵45＜48，
∴3＜4．
故答案为：＜．
【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）解答此题的关键是比较出3、4这两个数的平方的大小关系．
11．如图，围棋棋盘放置在 ( http: / / www.21cnjy.com )某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8），那么黑棋的坐标应该是（﹣3，﹣7）．
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【考点】坐标确定位置．
【分析】根据点的坐标向右平移加，向上平移加，可得答案．
【解答】解：由（﹣6，﹣8）的位置向右平移3个单位，向上平移1个单位，得
﹣6+3=﹣3，﹣8+1=﹣7，
故答案为：（﹣3，﹣7）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用点的坐标向右平移加，向上平移加是解题关键．
12．如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠C=90°．两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将该纸片沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则折痕AD=3cm．
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【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长，然后根据勾股定理即可求得AD．
【解答】解：∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质），
∴BE=4cm，
设CD=x，
则在Rt△DEB中，
42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3cm．
∴CD=3cm，
在Rt△ACD中，AD==3cm．
故答案为3．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
13．如果直线y=ax+b与直线y=﹣2x+3平行，且经过点A（﹣1，1），则b=﹣1．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a=﹣2，将a=﹣2，x=﹣1，y=1代入y=ax+b可求得b的值．
【解答】解：∵直线y=ax+b与直线y=﹣2x+3平行，
∴a=﹣2．
∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+b．
将x=﹣1，y=1代入得：﹣2×（﹣1）+b=1．
解得：b=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查的是两条直线平行问题，明确相互平行的两条直线的一次项系数相等是解题的关键．
14．如图，有一圆柱，其 ( http: / / www.21cnjy.com )高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）
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【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展 ( http: / / www.21cnjy.com )开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
【解答】解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB====15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）
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【点评】解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
15．若x＞4，则化简﹣=﹣3．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】根据x的范围判断出x﹣4与1﹣x的正负，利用二次根式性质化简，计算即可得到结果．
【解答】解：∵x＞4，
∴x﹣4＞0，1﹣x＜0，
则原式=|x﹣4|﹣|1﹣x|=x﹣4+1﹣x=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，以等腰三角形AOB的斜边为 ( http: / / www.21cnjy.com )直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=2n﹣2．
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【考点】等腰直角三角形．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出Sn的表达式．
【解答】解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2﹣1；
根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；
A1B=2，则S3=21，
依此类推，发现：Sn=2n﹣2．
【点评】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
三、解答题（本题满分64分）
17．（24分）化简
（1）
（2）3﹣5
（3）（2﹣1）2
（4）
（5）
（6）2﹣．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式计算；
（4）利用平方差公式计算；
（5）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（6）先把化简，然后合并后进行二次根式的除法运算，再进行减法运算．
【解答】解：（1）原式==；
（2）原式=6﹣20=﹣14；
（3）原式=12﹣4+1=13﹣4；
（4）原式=（2）2﹣1=20﹣1=19；
（5）原式=4+﹣=；
（6）原式=2﹣=2﹣3=﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的计算： ( http: / / www.21cnjy.com )先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．已知点A（﹣2，﹣1），B（3，1），C（1，4）．
（1）在直角坐标系中描出点A、B、C，画出△ABC．
（2）求出△ABC的面积．
（3）作出△ABC在坐标系中关于y轴对称的△A1B1C1．
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【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）利用已知点在坐标系中得出各点位置即可；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）S△ABC=5×5﹣×2×3﹣×3×5﹣×2×5=9.5；
（3）如图所示：△A1B1C1，即为所求．
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【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．
19．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．
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【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，
∴AC=5米，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（平方米）．
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【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
20．某日通过高速公路收费站的汽车中 ( http: / / www.21cnjy.com )，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴费20元，小车每辆次缴费10元．设这一天小车缴通行费的辆次为x，总的通行费收入为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）若小车缴通行的辆次为1200，这天的通行费收入是多少元？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）小车有x辆，则大车有（3000﹣x）辆，根据：总通行费=小车通行费+大车通行费，列出函数关系式；
（2）把x=1200代入（1）中的函数关系式即可．
【解答】解：（1）依题意，得y=10x+20（3000﹣x）=﹣10x+60000；
（2）当x=1200时，y=﹣10×1200+60000=48000元．
答：这天的通行费收入是48000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总通行费=小车通行费+大车通行费，列出函数关系式．
21．如图，lA lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距10千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是1小时．
（3）B出发后3小时与A相遇．
（4）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
（5）请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与A相遇？
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】一次函数的应用．
【专题】行程问题．
【分析】（1）根据函数图象可以直接看出B出发时与A相距的路程；
（2）根据函数图象可以得到走了一段路后，自行车发生故障进行修理所用的时间；
（3）根据函数图象可以直接得到B出发后多长时间与A相遇；
（4）根据直线lA经过点（0，10），（3，25）可以求得它的解析式；
（5）根据函数图象可以求得lB的解析式与直线lA联立方程组即可求得相遇的时间．
【解答】解：（1）根据函数图象可知，B出发时与A相距10千米，
故答案为：10；
（2）根据函数图象可知，走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是1.5﹣0.5=1小时，
故答案为：1；
（3）根据图象可知B出发后3小时时与A相遇；
（4）根据函数图象可知直线lA经过点（0，10），（3，25）．
设直线lA的解析式为：S=kt+b，则
解得，k=5，b=10
即A行走的路程S与时间t的函数关系式是：S=5t+10；
（5）设直线lB的解析式为：S=kt，
∵点（0.5，7.5）在直线lB上，
∴7.5=k×0.5
得k=15
∴S=15t．
∴
解得S=15，t=1．
故若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，1小时时与A相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解体的关键是利用数形结合的思想对图象进行分析，找出所求问题需要的条件．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2=（1+1）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
【解答】解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．