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第二章 等式与不等式 2.2.3
一元二次
不等式的解集
人教版高中数学 必修第一册 B版
目录
01
新课导入
03
课堂练习
02
新课讲解
04
拓展延伸
新课导入
第一部分
PART 01
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问题1 阅读课本第68～71页，回答下列问题：
（1）本节将要研究一元二次不等式的解法．（2）起点是二次函数以及一元二次方程，目标是会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为
试判断甲、乙两车有无超速现象．
问题2 如何解不等式v2－10v－600＞0和v2－10v－2000＞0．
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
新课讲解
第二部分
PART 02
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问题2 如何求一个一元二次不等式的解集呢？
追问：你能用类似的方法可以求得不等式（x＋1）（x－1）＜0 ②的解吗？
此时的依据是：ab＜0当且仅当 或
因为不等式②可以转化为两个不等式组 或
不难解得x∈ 或－1＜x＜1，因此不等式②的解集为（－1，1）．
一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是（x1，x2），不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是（一∞，x1）∪（x2，＋∞）．
问题3 如果可将不等式一边化为0，另一边可因式分解为a（x－x1）（x－x2），则可用因式分解法求解一元二次不等式，当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？
【尝试与发现】通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：
（1）x2＜－1；（2）x2＞－2；（3）x2＜9．
类似于一元二次方程，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集．
例1 求不等式x2－x－2＞0的解集．
解：因为x2－x－2＝（x＋1）（x－2），
所以原不等式等价于（x＋1）（x－2）＞0，因此所求解集为
（一∞，一1）∪（2，＋∞）．
新知探究
情境与问题中的不等式，v2－10v－600＞0可以化为
（v＋20）（v－30）＞0，
因此甲车的车速v＞30；而v2－10v－2000＞0可以化为
（v＋40）（v－50）＞0，
因此乙车的车速v＞50．由此可见，乙车肯定超速了．
例2 求下列不等式的解集：
解：（1）因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝（x＋2）2－3，
所以原不等式可化为（x＋2）2－3≥0，即（x＋2）2≥3，
（1）x2＋4x＋1≥0； （2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0； （4）2x2＋4x＋5＞0．
两边开平方得|x＋2|≥ ，从而可知x＋2≤－ 或x＋2≥ ，
因此x≤ －2－ 或x≥－2＋ ，所以原不等式的解集为
（－∞，－2－ ]∪[－2＋ ，＋∞）
例2 求下列不等式的解集：
解：（2）因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝（x－3）2－10，
所以原不等式可化为（x－3）2－10≤0，即（x－3）2≤10，
（1）x2＋4x＋1≥0； （2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0； （4）2x2＋4x＋5＞0．
两边开平方得|x－3|≤ ，从而可知－ ≤x－3≤ ，
因此3－ ≤x≤3＋ ，
所以原不等式的解集为[3－ ，3＋ ]．
例2 求下列不等式的解集：
解：（3）原不等式可化为x2－2x＋1＞0，
又因为x2－2x＋1＝（x－1）2，
所以上述不等式可化为（x－1）2＞0．
（1）x2＋4x＋1≥0； （2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0； （4）2x2＋4x＋5＞0．
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（－∞，1）∪（1，＋∞）．
解：（4）原不等式可以化为x2＋2x＋ ＞0．
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2＋4x＋1≥0； （2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0； （4）2x2＋4x＋5＞0．
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．
因为x2＋2x＋ ＝（x＋1）2＋ ，
所以原不等式可以化为（x＋1）2＋ ＞0 ，
即（x＋1）2＞－ ，
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为（x－h）2＞k或（x－h）2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
例3 求不等式 ≥1的解集．
解：由题意知x－2≠0，因此（x－2）2＞0，
原不等式两边同时乘以（x－2）2可得
（2x＋1）（x－2）≥（x－2）2且x－2≠0，
即（x＋3）（x－2）≥0且x≠2，
因此所求不等式的解集为（－∞，－3]∪（2，＋∞）．
例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，事实上，我们也可以通过移项，通分，利用“同号两数相除得正，异号两数相除得负”将其转化求得其解．
课堂练习
第三部分
PART 03
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解： －1≥0（移项，一边化为0）， ≥0（通分），
例3 求不等式 ≥1的解集．
所以原不等式的解集为（－∞，－3] ∪（2，＋∞）．
则 （利用同号两数相除得正转化），
解得x＞2或x≤－3，
拓展延伸
第四部分
PART 04
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归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫一元二次不等式？如何解一元二次不等式？
（2）如何解分式不等式？
作业：教科书P71练习B 1，2，3，4，5．
作业布置
第二章 等式与不等式 2.2.3
一元二次
不等式的解集
人教版高中数学 必修第一册 B版第二章 等式与不等式
《2.2.3一元二次不等式的解法》教学设计
1．掌握用因式分解法解决一元二次不等式.
2．掌握用配方法解决一元二次不等式.
教学重点：1．掌握用因式分解法解一元二次不等式.
2．掌握用配方法解一元二次不等式.
教学难点：对特殊的一元二次不等式进行变形
PPT课件．
一、整体概述
问题1：阅读课本第68~71页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究一元二次不等式的解法．（2）起点是二次函数以及一元二次方程，目标是会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为
，．试判断甲、乙两车有无超速现象．
师生活动：不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式和，
即解不等式和．
问题1：如何解不等式和．
设计意图：类比一元二次方程的解法，通过实际问题引出研究一元二次不等式及其解法的必要性．
三、探究新知
知识点1 一元二次不等式的解法
一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等
问题2：如何求一个一元二次不等式的解集呢？
师生活动：让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式
x（x一1）>0. ①
师生活动：引导学生：任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法.
师生发现：注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当或
因此，不等式①可以转化为两个不等式组或
解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为（一∞，0）∪（1，+∞）.
追问：你能用类似的方法可以求得不等式
（x+1）（x-1）<0 ②的解吗？
师生活动：引导学生发现：此时的依据是：ab<0当且仅当或
因为不等式②可以转化为两个不等式组或
不难解得x∈ 或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为（-1，1）．
教师总结：一般地，如果x1不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）．
设计意图：从较简单的一元二次不等式入手，利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”将其转化为一元一次不等式组求得其解．体现了转化与化归思想．
问题3：如果可将不等式一边化为0，另一边可因式分解为a（x-x1）（x-x2），则可用因式分解法求解一元二次不等式，当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？
【尝试与发现】通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：
（1）x2<-1；（2）x2>-2；（3）x2<9.
师生活动：让学生尝试，师生一起探讨：因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集为 ，（2）的解集为R，对于x2<9来说，两边同时开根号可得，即|x|<3，
因此-3教师总结：类似于一元二次方程，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
设计意图：配方法可以求解一般一元二次不等式．
三、初步应用
例1 求不等式x2-x-2>0的解集.
师生活动：学生完成，教师写出规范解答．
预设的答案：解:因为x2-x-2=（x+1）（x-2），
所以原不等式等价于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集为
（一∞，一1）U（2，+∞）.
情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为
（v+20）（v-30）>0，
因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为
（v+40）（v-50）>0，
因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.
设计意图：因式分解法可以求解一类特殊的一元二次不等式．
例2 求下列不等式的解集：
（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；
（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.
师生活动：与学生一起讨论，能使因式分解法吗？学生讨论，教师书写一到两题的规范解答，余下学生完成．
预设的答案：解:（1）因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，
所以原不等式可化为（x+2)2-3≥0，即（x+2)2≥3，
两边开平方得|x+2|≥，从而可知x+2≤ -或x+2≥，
因此x≤ -2-或x≥-2+，所以原不等式的解集为
（2）因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即(x-3)2≤10，
两边开平方得|x-3|≤，从而可知，
因此，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为x2-2x+1>0，
又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为（x-1)2>0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（一∞，1）U（1，+∞）.
（4）原不等式可以化为.
因为，
所以原不等式可以化为 ，
即，
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.
教师总结：一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以变为
(x-h)2>k或(x-h)2的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
设计意图：配方法求解一元二次不等式．
例3 求不等式的解集.
师生活动：这是分式不等式，如何转化为我们熟悉的不等式求解呢？师生一起探讨！
预设的答案：解:由题意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得
(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，
即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为（-∞，-3]U（2，+∞）.
教师总结：例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，事实上，我们也可以通过移项，通分，利用“同号两数相除得正，异号两数相除得负”将其转化求得其解．
预设的答案：解:解： （移项，一边化为0），（通分），
则（利用同号两数相除得正转化），解得，所以原不等式的解集为（-∞，-3]U（2，+∞）.
设计意图：通过本题说明可将一类分式不等式转化为一元二次不等式求解．
练习：教科书P71练习A1，2，3
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.2.3一元二次不等式的解法
1. 一元二次不等式的解法
因式分解法
配方法
分式不等式的解法
例1
例2
例3
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫一元二次不等式？如何解一元二次不等式？
（2）如何解分式不等式？
师生活动：学生总结，老师适当补充.
作业：教科书P71练习B 1，2，3，4，5
